Základne matematickej analýzy. Ako nájsť deriváciu?

Derivácia funkcie f (x), pri tzv rast pomere konkrétny bod x0 funkcie medze na prírastku argumentu, za predpokladu, že x byť 0, a hranice existuje. Derivát všeobecne označený mŕtvice, niekedy prejazdový bod alebo cez diferenciál. Často je derivát cezhraničných klamlivým výsledkom, pretože takéto reprezentácia je len zriedka.

Funkcia, ktorá má derivát v určitom bode x0, nazýva diferencovateľná v tomto bode. Predpokladajme, D1 - množstvo bodov, v ktorých je funkcia f diferencované. Priradenie ku každej jedno z čísel x, patrí D f, (x), získame označenie oblasť funkcie D1. Táto funkcia je derivát y = f (x). Je označená ako: f, (x).

Okrem toho derivát bežne používané vo fyzike a inžinierstva. Zoberme si jednoduchý príklad. Materiálne bod sa pohybuje na osi súradníc na otázku, čo je zákon pohybu, to znamená, že súradnice x tohto bodu je známa x funkcia (t). V priebehu časového intervalu od t0 až t0 + t je rovný posunutie bodu x (t0 + t) -X (t0) = x, a jeho priemerná rýchlosť v (t) rovná x / t.

Niekedy povaha pohybu prezentované tak, aby priemerná rýchlosť sa nemení pri malých časových intervaloch, čo znamená, že pohyb s väčším stupňom presnosti je jednotná. Alternatívne je hodnota priemernej rýchlosti, ak t0 takto do istej absolútne presné hodnoty, a je označovaný ako okamžitá rýchlosť v (t0) tohto bodu v určitom časovom okamihu t0. Predpokladá sa, že okamžitá rýchlosť v (t) je známy z akéhokoľvek diferencované funkcie, x (t), na to, čo v (t), je rovná x, (t). Jednoducho povedané, rýchlosť - to je derivát súradníc času.

Okamžitá rýchlosť má ako kladné a záporné hodnoty a hodnota 0. Ak je v určitom časovom intervale (t1, t2) je pozitívny, potom sa bod pohybuje v rovnakom smere, tj., X (t) koordinovať sa zvyšuje s časom, a ak v (t) záporná, potom je súradnice x (t) sa znižuje.

V zložitejších prípadoch, bod sa pohybuje v rovine alebo v priestore. Potom sa rýchlosť - vektorové veličiny, a určuje každý z súradníc vektora v (t).

Rovnako tak možno porovnávať zrýchlenie bodu. Rýchlosť je funkciou času, tj, v = v (t). Derivát také funkcie - pohyb zrýchlenie: a = v, (t). To znamená, že sa ukáže, že derivát času rýchlosti je zrýchlenie.

Predpokladajme, že y = f (x) - žiadny diferencované funkcie. Potom môžeme uvažovať pohyb bodu na súradnicovej osi, ktorá prebieha v advokátskej x = f (t). Mechanická údržba derivátu dáva možnosť poskytnúť jasný výklad vety diferenciálneho počtu.

Ako nájsť deriváciu? Nájdenie derivát z funkcie sa nazýva jej diferenciácie.

Položte príklady toho, ako nájsť deriváciu funkcie:

Derivát konštantná funkcia rovná nule; derivácie funkcie y = x je rovné jednej.

A ako nájsť deriváciu frakcie? K tomu, zvážte nasledovné materiál:

Pre akékoľvek x0 <> 0 máme

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Existujú určité pravidlá, ako nájsť derivácii. Ide o:

V prípade, že funkcia A a B sú diferencované bod x0, potom ich súčet sa líši v bode: (A + B) '= A' + B '. Jednoducho povedané, derivát čiastky rovnajúcej sa súčtu derivátov. Ak je funkcia rozlíšená na nejakom mieste, potom to musí byť, keď po argument nulový zisk zvýšiť na nulu.

V prípade, že funkcia A a B sú diferencované bod x0, potom ich produkt je členená na: (a * b) '= A'B + AB'. (Hodnoty funkcie a ich deriváty, sú vypočítané v bode x0). V prípade, že funkcia S (x), sa líšia v bode x0, a C - konštantné, potom funkcia CA sa líšia v tomto bode a (CA), = CA '. To znamená, že konštantný faktor vykonaná mimo znamenie derivátu.

V prípade, že funkcia A a B sú diferencované bod x0 a funkcie B nie je rovný nule, potom ich pomer rozlíšená na: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.