Russellov paradox: základné informácie, príklady, formulácia

Russell paradox je dva navzájom prepojené logický protiklad.

Dve formy Russellov paradox

Najčastejšie diskutovaným forma rozpor logických sád. Niektoré sady sa zdá byť samotní členovia, a iní - nie. Množina všetkých množín je sám o sebe set, takže sa zdá, že sa odkazuje na seba. Null alebo prázdne, by však nemalo byť členom seba. Preto je množina všetkých súborov, ako nula nie je zahrnutá do seba. Paradox nastáva, keď otázka, či sady člena seba. To je možné iba v prípade, že nie je.

Ďalšia forma paradox je spor týkajúci sa vlastností. Niektoré vlastnosti, zdá sa, odkazovať sa na seba, zatiaľ čo iní nie. Vlastnosť byť vlastnosť sama o sebe je vlastnosť, zatiaľ čo vlastnosť či už je to mačka nie je. Zoberme si vlastnosť, ktorá má vlastnosť, ktorá nepatrí k nemu. ak sa vzťahuje na seba samého? Opäť platí, že niektorý z predpokladov by mal byť opačný. Tento paradox bola pomenovaná na počesť Bertrand Russell (1872-1970), ktorý ju objavil v roku 1901.

príbeh

Otvorenie Russell došlo počas jeho práce na "Princípy matematiky". Aj keď objavil paradox samostatne, existujú dôkazy o tom, že ďalšie matematici a vývojári z teórie množín, vrátane Ernst Zermelo a David Hilbert, si boli vedomí prvá verzia rozporov pred ním. Russell však bol prvý, kto podrobne popísané paradox v jeho publikovaných prác, najprv pokúsil formulovať riešenia a prvý plne oceniť jeho význam. Celá kapitola "Zásad" bola venovaná diskusiu o tejto problematike, a žiadosť bola venovaná teórii typov, ktoré Russell navrhnutá ako riešenie.

Russell objavil "paradox klamára ', s ohľadom na teóriu množín Cantor, že hovorí, že sila akýkoľvek súbor je menšia ako súbor jej podskupín. Aspoň v oblasti by mala byť čo najviac podskupiny, ako sú elementy v tom, ak je jedna podmnožina každého prvku je nastavená obsahujúca iba tento prvok. Okrem toho, Cantor ukázal, že počet prvkov nemôžu rovnať počtu podskupín. Ak tam bol rovnaký počet, musela by existovať ƒ funkciu, ktorá by indikačné prvky na ich podskupín. Zároveň to môže byť preukázané, že je to nemožné. Niektoré položky môžu byť zobrazené na podskupín Funkcia ƒ, ktoré ich obsahujú, zatiaľ čo iní nemôžu.

Zvážiť podmnožinu častí, ktoré nie do svojich obrazov, v ktorom oni zobrazujú ƒ. To je samo o sebe súboru prvkov, a preto, ƒ funkcie by zobraziť ju na prvok v doméne. Problém je, že vzniká otázka, či je tento prvok patrí do podskupiny, na ktoré sa zobrazuje ƒ. To je možné iba vtedy, ak to nepatrí. Russellov paradox môže byť videný ako príklad rovnakého dôvodu, len zjednodušené. A čo viac - množiny alebo podmnožiny množiny? Mohlo by sa zdať, že by malo byť viac sád, ako všetkých podskupín samotných súprav. Ale ak cantorova veta pravdivá, potom by malo byť viac podskupín. Russell považovaný jednoducho zobraziť súbory na seba a aplikovať kantoriansky prístup vzhľadom na množinu všetkých týchto prvkov, mimo súboru, v ktorom sú zobrazené. Ukazujúci Russell stane množina všetkých súborov, non.

chyba Frege

"Paradox klamára" mal hlboký dopad na historický vývoj teórie množín. Ukázal, že koncept univerzálny sady je veľmi problematické. On tiež spochybnil názor, že pre každý definovaný stav alebo predikát môže prevziať existenciu väčšieho počtu iba tie veci, ktoré spĺňajú túto podmienku. Variant paradox týkajúce sa vlastností - prirodzené rozšírenie na verziu sady - vyvoláva vážne pochybnosti o tom, či je možné sa dohadovať o objektívnu existenciu majetku alebo univerzálne zhode ku každému daný stavu alebo predikátu.

Čoskoro boli nájdené rozpory a problémy v práci logiku, filozofi a matematici, ktorí robili podobné predpoklady. V roku 1902, Russell zistili, že variantom paradoxu možno vyjadriť v logickom systéme, ktorý bol vypracovaný vo Zväzku I Gottlob Frege je "Základy aritmetiky", jeden z hlavných prác na logike neskorého XIX - začiatku XX storočia. Vo filozofii Fregeho mnoho chápať ako "rozšírenie" a pojem "hodnota dosahu". Tieto pojmy sú najbližšie k tým koreláty. Očakáva sa, že existujú pre daný stav alebo predikátu. Preto je pojem množiny, ktorá nespadá pod jeho definujúce konceptu. Tam je tiež trieda definované týmto konceptom, a to je predmetom definovať svoju koncepciu len v prípade, že nie je.

Russell písal Frege o tomto konflikte v júni 1902 Korešpondencia sa stal jedným z najviac vzrušujúcich a hovoril o v histórii logiky. Frege okamžite spoznala katastrofálne dôsledky paradox. Poznamenal však, že je verzia kontroverzie ohľadom vlastnosti v jeho filozofiu bol vyriešený tým, že rozlišuje medzi pojmami úrovniach.

Frege predstava chápať ako prechod z argumentov funkcie PRAVDA. Koncept prvej úroveň brať ako argumenty objekty druhej poňatie úrovne berú ako argumenty týchto funkcií, a tak ďalej. To znamená, že pojem nikdy nemôže sám ako argumentu, a paradox, pokiaľ ide o vlastnosti nemôžu byť formulované. Napriek tomu súpravy, expanzia alebo koncepty Frege chápať tak, že odkazuje k rovnakému logickému typu ako všetkých ostatných objektov. Potom pre každej sade je otázka, či patrí pod pojem definovať to.

Keď Frege, Russell dostal prvý list, druhý diel "Základy aritmetiky" už je dokončený tlač. Bol nútený rýchlo pripraviť aplikáciu, ktorá dáva odpoveď na paradoxu Russella. Príklady Frege obsahoval rad možných riešení. Ale prišiel k záveru, oslabiť koncept abstrakcie sady v logickom systéme.

V pôvodnom, bolo možné dospieť k záveru, že objekt patrí do množiny vtedy a len vtedy, ak patrí do pojmu, definuje ju. Revidovaný systém môže iba konštatovať, že objekt patrí do množiny vtedy a len vtedy, ak sa vzťahuje pojem definuje väčší, ale nie je nastavený v pochybnosť. Russellov paradox vzniká.

Riešením však nie je úplne spokojný s Frege. A to bol dôvod. O niekoľko rokov neskôr, zložitejšie forma rozpore bolo zistené u revidovaného systému. Ale ešte predtým, než sa to stalo, Frege opustil svoje rozhodnutie a zdá sa, že dospela k záveru, že jeho prístup bol jednoducho neuskutočniteľná a tá logika bude musieť zaobísť bez akýchkoľvek súborov.

Stále boli navrhnuté ďalšie, relatívne úspešné alternatívne riešenia. Tieto sú popísané nižšie.

teória typov

To bolo uvedené vyššie, že Frege bol zodpovedajúci reakciou na paradoxy teórie množín v znení formulovaných pre vlastnosti. Frege reakcie predchádzalo najčastejšie diskutované riešenie tejto formy paradoxu. Je založený na tom, že tieto vlastnosti sú predmetom rôznych typov a aký typ nehnuteľností nie je nikdy rovnaký ako jeden z bodov, na ktoré sa odvoláva.

Tak vzniká dokonca ani otázka, či je táto vlastnosť použiteľná pre seba. Logický jazyk, ktorý oddeľuje prvkov takej hierarchie, pomocou teórie typov. Aj keď je už používa Frege, prvýkrát je plne vysvetlená a zdôvodnená Russell v prílohe "princíp". Teória typov bolo sofistikovanejšie než práve rozdielu hladín Fregeho. Zdieľala vlastnosti nie sú len rôzne druhy logiky, ale tiež nastaviť. typ teóriu vyriešiť rozpor v paradoxu Russell nasledovne.

Aby bolo filozoficky adekvátne, prijatie teórie typov nehnuteľností vyžaduje vývoj teórie o povahe vlastností tak, aby mohol vysvetliť, prečo nemôžu byť použité pre seba. Na prvý pohľad to dáva zmysel, aby vypovedajú svoj vlastný majetok. Vlastníctvo bytia self-identita, ako sa zdá, je to tiež self-identity. V objekte sa zdá byť pekný príjemné. Rovnakým spôsobom, zdá sa, že sa zdá falošné hovoriť, že vlastnosť, že je mačka, je mačka.

Avšak, rôzne myslitelia odôvodnil rozdelenie rôznych typov. Russell dokonca dal rôzne vysvetlenia v rôznych časoch v jeho kariére. Pre jeho časť, odôvodnenie pre separáciu rôznych koncepcií úrovní Frege pochádza z jeho teóriu nenasýtených konceptov. Pojmy ako funkcie, v podstate sú neúplné. Poskytnúť hodnotu, je potrebné argument. Nemôžete len jeden konceptu až predikovať koncept rovnakého typu, pretože to stále vyžaduje svoj argument. Napríklad, aj keď je možné, aby sa druhá odmocnina druhá odmocnina z počtu, nemôžete len použiť odmocniny funkciu odmocniny a získať výsledok.

O vlastnostiach konzervativizmus

Ďalším možným riešením je paradox vlastnosti negácie vlastnosti existencie za všetkých daných podmienok, alebo dobre vytvorené predikátu. Samozrejme, že ak sa niekto vyhýba metafyzické vlastnosti oboch objektívnych a nezávislých prvkov ako celok, ak vezmeme v nominalism paradox možno vyhnúť úplne.

Aby však bolo možné vyriešiť protiklad nemusí byť tak extrémne. Logické vyššieho rádu systémy vyvinuté Frege a Russell, obsahuje to, čo sa nazýva koncepčné princíp, podľa ktorého každý otvorené vzorca bez ohľadu na to, ako zložité existuje ako súčasť majetku alebo koncepcie, napríklad, iba tie, ktoré zodpovedajú vzorcu. Sú použité k atribútom každého možného súboru podmienok alebo predikáty, bez ohľadu na to, ako zložité sú.

Napriek tomu, že bolo možné prijať prísnejšie metafyziku vlastnosti, dáva právo na objektívnu existenciu jednoduchých vlastností, zahŕňajúce napríklad, ako je červená farba, pevnosť, láskavosti a tak ďalej. D. Dokonca si môžete nechať tieto vlastnosti sa vzťahujú k sebe, ako je láskavosť môže byť láskavý.

A rovnaký štatút pre komplexné atribúty môže byť odmietnutý, napríklad také "vlastnosti", ako má sedemnásť hlavy, byť napísaný pod vodou a podobne. D. V tomto prípade nie je vopred určený stav nespĺňa vlastnosť, chápaná ako samostatne existujúce prvok, ktorý má svoje vlastné vlastnosti. Tak možno poprieť existenciu jednoduchých vlastnosťou je-vlastnosť, že-non-použitá k sebe a vyhnúť paradox použitím viac konzervatívny metafyzické vlastnosti.

Russellov paradox: roztok

Vyššie bolo uvedené, že na konci svojho života Frege úplne opustený logiku sád. To samozrejme, jedným z riešení na protiklade v podobe sady: jednoduchá popretie existencie takých prvkov ako celku. Okrem toho existujú aj ďalšie populárne voľbou, základy z nich sú uvedené nižšie.

Teória pre mnoho typov

Ako už bolo spomenuté, Russell hral pre viac kompletný teórie typov, ktorí by zdieľajú nielen vlastnosti alebo koncepty pre rôzne typy, ale tiež nastaviť. Russell zdieľané nastavenie na viacerých samostatných jednotiek, väčší počet súborov jednotlivých objektov a pod neboli považované za Množiny objektov, a väčší počet súborov - .. sad. Mnoho nikdy nemali typ, môžete mať ako člen sám o sebe. Preto nie je množina všetkých súborov, ktoré nie sú členmi jeho vlastné, pretože pre každú sériu otázok o tom, či je ako člen, je sama o sebe typ porušenia. Opäť platí, že problém tu je vysvetlenie metafyziku sady vysvetliť filozofické základy delenie do typov.

stratifikácia

V roku 1937, V. V. Kuayn ponúkla alternatívne riešenie, a to spôsobom podobným teórie typov. Základné informácie o ňom sú.

Separačné sady a ďalších prvkov. Vykonané tak, že predpoklad zistenie množstva vždy je nesprávne alebo bezvýznamný. Zostavy môžu byť poskytnuté len v prípade definovanie ich podmienky nie sú typu porušenia. Tak Quine, výraz "x nie je členom x" je zmysluplné vyhlásenie neznamená existenciu množiny všetkých prvkov x, ktoré spĺňajú túto podmienku.

V tomto systéme existuje sada pre nejaké otvorené vzorca A iba v prípade, že je rozvrstvený, t. E. V prípade, že premenné sú priradené kladné celé čísla také, že pre každého charakteristického výskytu väčšieho počtu predchádzalo premennej je priradený priraďovacie jednotka menšie ako premenná, nasledujúceho po ňom. To blokuje Russellov paradox, pretože vzorec použitý na určenie sady problém, tam je rovnaká pred a po premenná členstva znamení robiť to unstratified.

Má však ešte zistiť, či výsledného systému, ktorý Quine nazýva "nové základy matematickej logiky" konzistentné.

odmietnutie

Úplne iný prístup sa používa v teórii premennej - Fraenkel (ZF). Aj v tomto prípade stanoviť limit na existenciu súborov. Namiesto toho sa blíži k "top-down" Russell a Frege, ktorí pôvodne myslel, že pri všetkých pojmov, vlastností alebo podmienok môže naznačovať existenciu množiny všetkých vecí s týmto majetkom, alebo k úhrade takého stavu, v ZF teórii, začína všetko "odspodu nahor."

Jednotlivé prvky prázdne množine a tvoria jeden celok. Preto, na rozdiel od predchádzajúcich systémov a Russell Frege FIT nepatrí do univerzálnej sade, ktorá obsahuje všetky prvky, a dokonca aj všetky súbory. ZF stanovuje prísne limity na existenciu súborov. Môžu existovať len tie, pre ktoré sa jasne predpokladá, alebo ktoré môžu byť formulované pomocou iteračných postupov a podobne. D.

Potom, namiesto pojmu abstrakcie naivné sade, ktorá uvádza, že konkrétne prvok je súčasťou zostavy, ak a iba v prípade, že spĺňa podmienky v separačnej princíp použitý DF, separácia alebo "triediaci". Namiesto toho, aby za predpokladu existencie množinu všetkých prvkov, ktoré sú bez výnimky spĺňať určité podmienky, pre každú existujúcu sadu Aussonderung naznačuje existenciu podmnožiny všetkých prvkov v pôvodnej sade, ktorá spĺňa podmienku.

Potom príde abstrakcie princíp: v prípade, že množina A existuje, potom pre všetky x v A x patrí do podmnožiny A, ktorá spĺňa podmienku práve vtedy, keď x spĺňa podmienku C. Tento prístup rieši paradox Russella, pretože nemôžeme jednoducho predpokladať, to znamená, že množina všetkých súborov, ktoré nie sú členmi seba.

Majú veľa sád, môžete vybrať alebo rozdeliť do sád, ktoré sú samy o sebe, a tých, ktorí nie sú také, ale pretože neexistuje univerzálna sada nie sme viazaní množinu všetkých sád. Bez toho za predpokladu, že problém nastaví Russell rozpor nemožno preukázať.

iné riešenia

Okrem toho došlo k následné rozšírenie alebo modifikácie týchto roztokov, ako je napríklad teória vidlicového typu "Princípy matematiky" expanzných systém "matematická logika" Quine, rovnako ako viac nedávny vývoj teórie množín, vyrobený Bernays, Gödel a von Neumanna. Otázka, či je odpoveď na nerozpustné paradox Bertranda Russella nájdený, je stále predmetom diskusie.