Uhlopriečka rovnostranný lichobežník. Aký je stredná línia lichobežníka. Druhy lichobežníky. Trapeze - to ..

Hrazda - špeciálny prípad štvoruholníka, v ktorom jeden dvojica ramien je rovnobežná. Pod pojmom "lichobežník" je odvodený z gréckeho slova τράπεζα, znamenať "stôl", "stôl". V tomto článku sa pozrieme na typy hrazde a jeho vlastnosti. Tiež sa pozrieme na to, ako vypočítať jednotlivé prvky geometrický obrazec. Napríklad, diagonály rovnoramenného lichobežníka, stredná línia, oblasti a ďalšie. Materiál obsiahnutý v základnej geometrie populárny štýl, t. E. V ľahko prístupným spôsobom.

Prehľad

Po prvé, poďme sa pochopiť, čo štvoruholník. Toto číslo je zvláštny prípad mnohouholníka, ktorý má štyri strany a štyri vrcholy. Dva vrcholy štvoruholníka, ktoré spolu nesusedia, tzv opak. To isté možno povedať o dvoch nesusediacich stranách. Hlavnými druhy štvoruholníkov - rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec, lichobežník a deltoid.

Takže späť k hrazde. Ako sme už povedali, toto číslo sa obe strany sú rovnobežné. Nazývajú sa základy. Ďalšie dve (non-paralelný) - boky. Materiály rôznych vyšetrení a vyšetrenia Veľmi často sa možno stretnúť problémy spojené s lichobežníkmi, ktorých riešenie často vyžaduje znalosti študenta, ktoré nespĺňa kritériá programu. Školský geometria Predmet zoznamuje žiakov s uhlami vlastnosťami a diagonál, ako aj strednej línii rovnoramenného lichobežníka. Ale iné, než je uvedené na geometrický tvar má aj ďalšie funkcie. Ale o nich neskôr ...

typy trapéz

Existuje mnoho druhov tohto obrázku. Avšak, najviac často zvykom, aby zvážila dvaja z nich - rovnoramenný a obdĺžnikové.

1. Obdĺžniková lichobežník - postava, v ktorej jedna zo strán kolmo k základni. Má dva uhly sú vždy rovná deväťdesiat stupňov.

2. rovnoramenného lichobežníka - geometrický obrazec, ktorého strany sú rovné. Tak, a uhly na základni sú tiež zhodné.

Hlavnými princípmi metód na štúdium vlastností lichobežníka

Základné princípy zahŕňajú použitie tzv prístupu úloh. V skutočnosti, nie je potrebné vstupovať do teoretického predmetu Geometria nových vlastností tohto obrázku. Môžu byť otvorené alebo v procese formulovania rôzne úlohy (lepší systém). Je veľmi dôležité, aby učiteľ vedieť, aké úlohy je potrebné dať pred študentmi v danom okamihu procesu učenia. Navyše, každý lichobežník nehnuteľnosť môže byť reprezentovaný ako kľúčový úlohu v systéme úloh.

Druhým princípom je tzv špirála usporiadanie štúdie "pozoruhodným" trapézové vlastnosti. To znamená návrat k procesu učenia jednotlivých rysov geometrického obrazca. To znamená, že študenti jednoduchšie pamätať. Napríklad vlastnosť zo štyroch bodov. To môže byť preukázané ako v štúdii podobnosti a následne pomocou vektorov. A rovné trojuholníky priľahlé k stranám na obrázku, je možné preukázať pomocou nielen vlastnosti trojuholníkov s rovnakými výškami vykonávaných na stranách, ktoré leží na priamke, ale aj pomocou vzorca S = 1/2 (ab * sinα). Okrem toho, že je možné pracovať zákon sínusov vpísanej lichobežníka alebo pravouhlého trojuholníka a lichobežník je popísaný v t. D.

Použitie "mimoškolské" má geometrický obrazec v obsahu školské ihrisko - tasking svoje technológie učenia. Constant referencie štúdium vlastností priechod druhej umožňuje študentom učiť trapézový hlbšie a zaručuje úspech úlohy. Takže budeme pokračovať k štúdiu tejto pozoruhodnej postavy.

Prvky a vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

Ako už bolo povedané, v tomto geometrického obrazca strany sú si rovné. Napriek tomu, že je známy ako pravý lichobežníka. A čo je to tak pozoruhodné a prečo dostal svoje meno? Zvláštnosti tejto sumy sa vzťahuje, že má nielen rovné strany a uhly na základni, ale aj diagonálne. Okrem toho je súčet uhlov rovnoramenného lichobežníka je rovný 360 °. Ale to nie je všetko! Iba okolo rovnoramenný možno opísať kruhu všetkých známych lichobežníky. To je spôsobené tým, že súčet opačných uhlov na tomto obrázku je 180 stupňov, a to iba za tejto podmienky môže byť opísaný ako kruhu okolo štvoruholníka. Nasledujúce vlastnosti geometrického obrazca, je to, že vzdialenosť od hornej časti základne k projekcii protiľahlých vrcholov na riadok, ktorý obsahuje tento základ sa rovná strednej čiare.

Teraz sa pozrime na to, ako nájsť rohy lichobežníka. Zoberme si riešenie tohto problému, za predpokladu, že veľkosť strán známa postava.

rozhodnutie

To je obvyklé označovať štvoruholníka písmen A, B, C, D, kde B a BP - základ. V rovnoramenného lichobežníka strany sú rovné. Predpokladáme, že ich veľkosť je rovná X a Y rozmery sú bázy a Z (menšie a väčšie, v tomto poradí). Pre výpočet uhla nutnosti vynaložiť na výšku H. Výsledkom je pravouhlý trojuholník ABN kde AB - prepona a BN a AN - nohy. Výpočet veľkosti nohy AN: odpočítať od väčšej základne minimálny, a výsledok je rozdelený 2. napísať vzorca: (ZY) / 2 = F. Teraz, pre výpočet ostrý uhol funkcie cos použitie trojuholník. Získame nasledovné položky: cos (β) = X / F. Teraz výpočet uhla: β = Arcos (X / F). Ďalej, pretože vedel, jeden roh, môžeme určiť, a za druhé, aby bol tento základný aritmetické operácie: 180 - p. Všetky uhly sú definované.

K dispozícii je tiež druhý riešenie tohto problému. Na začiatku je vynechaný z rohu do výšky nohy N. vypočítava hodnotu BN. Vieme, že štvorec prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ďalších dvoch stranách. Dostaneme: BN = √ (X2 F2). Ďalej používame goniometrické funkcie tg. Výsledkom je: β = arctg (BN / F). Ostrý uhol je nájdený. Ďalej definujeme tupý uhol ako u prvého spôsobu.

Majetkom uhlopriečok lichobežníka

Po prvé, my píšeme pravidlá štyri. V prípade, že diagonálne do rovnoramenného lichobežníka sú kolmé, potom:

- výška postavy je rovná súčtu bázou, deleno dvomi;

- jeho výška a stredné línie sú rovnaké;

- oblasť lichobežníka je rovný druhej mocnine výšky (stredovej línie na polovičný báz);

- štvorec uhlopriečky štvorca sa rovná polovici súčtu dvojnásobku štvorcových základní alebo strednej línie (výška).

Teraz sa pozrite na vzorec definujúci diagonálne rovnoramenný lichobežník. Tento údaj môže byť rozdelená do štyroch častí:

1. Vzorec diagonálna dĺžka cez jeho stranu.

Predpokladáme, že A je - spodná základňu, B - hore, C - rovné strany, D - diagonálne. V tomto prípade sa dĺžka môže byť stanovená nasledujúcim spôsobom:

D = √ (C2 + A * B).

2. Vzorec pre dĺžky uhlopriečky kosínusu.

Predpokladáme, že A je - spodná základňu, B - hore, C - rovné strany, D - diagonálne, a (v dolnej základni) a p (horná báza) - lichobežník rohy. Získame nasledujúci vzorec, pomocou ktorého možno vypočítať dĺžku uhlopriečky:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Vzorec diagonálna dĺžka rovnoramenného lichobežníka.

Predpokladáme, že A je - spodná základňa, B - horný, D - diagonálne, M - stredná čiara H - výška, P - plocha lichobežníka, a a β - uhol medzi diagonálami. Určenie dĺžky nasledujúcich vzorcov:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B), 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Pre tento prípad je rovnosť: sinα = sinβ.

4. Vzorec diagonálna dĺžka cez steny a výšky.

Predpokladáme, že A je - spodná základňu, B - hore, C - boky, D - diagonálne, H - výška, α - uhol so spodnou základňou.

Určenie dĺžky nasledujúcich vzorcov:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + ctgα F *) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Prvky a vlastnosti pravouhlého lichobežníka

Poďme sa pozrieť na to, čo sa zaujímajú o tomto geometrický obrazec. Ako sme už povedali, máme obdĺžnikového lichobežníka dva pravé uhly.

Popri klasickej definície, tam sú iní. Napríklad pravouhlý lichobežník - lichobežník, v ktorom jedna strana je kolmá k základni. Alebo tvar má na bočných uhlov. V tomto type výšky lichobežníkov, je tá strana, ktorá je kolmá na báz. Stredná línia - segment, ktorá spája stredy oboch strán. Vlastnosť tohto prvku je, že je rovnobežná s bázou a rovná polovici ich súčtu.

Teraz uvažujme základné vzorce, ktoré definujú geometrické tvary. Ak to chcete, budeme predpokladať, že A a B - base; C (kolmo k základni) a D - strany pravouhlého lichobežníka, M - stredná línia, a - ostrý uhol, P - oblasti.

1. strana kolmá na báz, pričom toto číslo sa rovná výške (C = N), a sa rovná dĺžke druhej strany A a sínusu uhla a vo väčšej základni (c = a * sinα). Okrem toho, že sa rovná súčinu dotyčnice ostrý uhol a a rozdiel v základniach: C = (A-B) * tgα.

2. Bočné D (nie je kolmá k základni) sa rovná kvocientu rozdielu A a B a cos (a), alebo v ostrom uhle k súkromnému výšky postavy H a sínusové ostrý uhol: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Strana, ktorá je kolmá na základoch, sa rovná odmocnine štvorec rozdielu D - druhá strana - a štvorcovou základňou rozdiely:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

4. Strana A pravouhlý lichobežník sa rovná druhej odmocniny štvorcového súčtu štvorcového strane a C báz geometrický tvar rozdiel: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. Bočné C sa rovná kvociente štvorcového dvojnásobku súčtu svojich základní: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Oblasť definovaná M produktu (stredová línia pravouhlého lichobežníka) na výšku alebo bočnom smere kolmom na báz: P = M * N = M * C.

7. Poloha C je podiel dvojnásobku štvorcového tvaru produktom sínusového ostrý uhol a súčet jeho základní: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Vzorec strana pravouhlého lichobežníka cez uhlopriečky, a uhol medzi nimi:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

kde D1 a D2 - uhlopriečky lichobežníka; α a β - uhol medzi nimi.

9. Vzorec strane pod uhlom v dolnej základni a iní: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Vzhľadom k tomu, lichobežník s pravouhlo je zvláštny prípad lichobežníka, ďalšie vzorce, ktoré určujú tieto údaje, sa zídu a obdĺžnikové.

vlastnosti incircle

V prípade, že podmienka hovorí, že v obdĺžnikovom lichobežníkového vpísanej kružnice, potom môžete použiť nasledujúce vlastnosti:

- je množstvo bázy, je súčet stranách;

- vzdialenosť od hornej časti obdĺžnikového tvaru na mieste dotyku vpísanej kružnice sa vždy rovná;

- výška lichobežníka je rovná strane, kolmo na báz, a rovná priemeru kruhu ;

- stred kruhu je bod, v ktorom sa pretínajú bisectors uhlov ;

- v prípade, že bočná strana bodu dotyku sa delí na dĺžky n a m, potom sa polomer kružnice je rovnaká s druhou odmocninou súčinu týchto segmentov;

- štvoruholník tvorený kontaktnom mieste, je horná časť lichobežníka a stredom vpísanej kružnice - to je štvorec, ktorého strana je rovná polomeru;

- oblasť na obrázku je výsledkom rozumu a produkt polovičného súčtu bázou na jeho vrchole.

Podobne ako hrazda

Táto téma je veľmi užitočné pre štúdium vlastností geometrických obrazcov. Napríklad, diagonálne rozdelené na štyri trojuholníky lichobežníka, a sú priľahlé k spodnej časti podobne, a do strán - z rovnakej. Toto tvrdenie možno nazvať vlastnosť trojuholníkov, ktorý je zlomený hrazda jeho uhlopriečky. Prvá časť tohto tvrdenia dokazuje cez znakom podobnosti týchto dvoch rohov. Aby dokázal, že druhá časť je lepšie použiť metódy opísané nižšie.

dôkaz

Prijať toto číslo ABSD (AD a BC - základ lichobežníka) sa člení uhlopriečok HP a AC. Priesečník - O. Dostaneme štyri trojuholníky: Spoločnosť AOC - na spodnej základni, BOS - horná základne, ABO a SOD po stranách. Trojuholníky SOD a biologickej spätnej väzby majú spoločnú výšku v tomto prípade, ak je segmenty BO a OD sú ich základne. Zistili sme, že rozdiel medzi ich oblasťou, (P), ktorý sa rovná rozdielu týchto segmentov: PBOS / PSOD = BO / ML = K. V dôsledku toho, PSOD = PBOS / K. Podobne, trojuholníky AOB a biologickej spätnej väzby majú spoločnú výšku. Prijaté na ich základných segmentov SB a OA. Získame PBOS / PAOB = CO / OA = K a PAOB = PBOS / K. Z toho vyplýva, že PSOD = PAOB.

Upevniť hmotnej študenti sú vedení k nájsť spojenie medzi oblasťami trojuholníkov, ktorý sa bez rozbité trapéz jeho uhlopriečkami, rozhodovanie o ďalšiu úlohu. Je známe, že trojuholníky BOS a ADP oblasti sú si rovné, je nutné nájsť plochu lichobežníka. Vzhľadom k tomu, PSOD = PAOB, potom PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Z podobnosti trojuholníkov Bos a ANM vyplýva, že BO / OD = √ (PBOS / PAOD). V dôsledku toho, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Získať PSOD = √ (* PBOS PAOD). Potom PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

vlastnosti podobnosť

Pokračujeme vo vývoji túto tému je možné dokázať, a ďalšie zaujímavé črty lichobežníky. Tak, s pomocou podobnosti môžu preukázať segment vlastnosť, ktorá prechádza bodom tvorené priesečníkom uhlopriečok geometrického obrazca, rovnobežné so zemou. K tomu vyriešiť nasledujúci problém: je potrebné nájsť RK segmentu dĺžky, ktorá prechádza bodom O. z podobnosti trojuholníkov ADP a SPU vyplýva, že AO / OS = AD / BS. Z podobnosti trojuholníkov ADP a ASB, vyplýva, že AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). To znamená, že BS * PO = AD / (AD + BC). Podobne, z podobnosti trojuholníkov MLC a ABR vyplýva, že OK * BP = BS / (BP + BS). To znamená, že OC a RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok rovnobežne so základňou a spájajúci dve strany, priesečník je rozdelená na dve polovice. Jeho dĺžka - je harmonická stredná postavy dôvod.

Zoberme si nasledujúce vlastnosti lichobežníka, ktorý sa nazýva vlastnosť štyroch bodov. priesečník uhlopriečok (D), priesečník pokračovanie strán (E), ako aj strednej-báz (T a G), leží vždy na rovnakom riadku. Je ľahké dokázať metódy podobnosti. Výsledné trojuholníky sú podobné BES a AED, a z ktorých každá obsahuje medián ET a spoza rozdeliť vrcholový uhol E rovným dielom. Z tohto dôvodu, Stupeň E, T a F sú kolineárne. Rovnako tak, na rovnakom riadku sú usporiadané s ohľadom na T, O, a G. To vyplýva z podobnosti trojuholníkov BOS a ANM. Preto sme došli k záveru, že všetky štyri podmienky - E, T, O a F - bude ležať na priamke.

Za použitia podobných lichobežníky, môže byť otvorený študentom nájsť dĺžku segmentu (LF), ktorá rozdeľuje číslo do dvoch rovnakých. Tento diel musí byť rovnobežná s bázou. Vzhľadom k tomu, prijatého lichobežníkového ALFD LBSF a podobné, BS / LF = LF / AD. To znamená, že LF = √ (BS * BP). Došli sme k záveru, že segment, ktorý sa rozdelí na dva lichobežníka, ako je, má dĺžku rovnajúcu sa geometrický priemer dĺžky základní obrázku.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť podobnosti. Na svojej základni leží segment, ktorý rozdeľuje lichobežník na dve rovnako veľké čísla. Predpokladáme, že lichobežník ABSD je delený časťou EH do dvoch podobných. Výška spadne z vrcholu B, ktorý je delený segmentom EH na dve časti - B1 a B2. Získame: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 a PABSD = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Ďalej vytvoríme systém, ktorého prvá rovnica je (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 a druhá (BS + EH) * B1 = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Z toho vyplýva, že B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) a BS + EH = (BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). Zistili sme, že dĺžka segmentu rozdeľujúca lichobežník na dve rovnaké časti sa rovná dĺžke priemeru druhého koreňa: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Závery podobnosti

Preto sme dokázali, že:

1. Segment spájajúci sa v lichobežníkovom strede bočných strán je rovnobežný s arteriálom a BS a je rovný aritmetickému priemeru BS a AD (dĺžka základne lichobežníka).

2. Čiarka prechádzajúca bodom O priesečníku uhlopriečok rovnobežne s AD a BS sa bude rovnať strednej harmonickej čísel AD a BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Segment, ktorý rozdeľuje lichobežník na podobné, má dĺžku priemerných geometrických základov BS a AD.

4. Prvok rozdeľujúci číslo na dve rovnaké časti má dĺžku stredného štvorca čísel AD a BS.

Na konsolidáciu materiálu a realizáciu spojenia medzi skúmanými segmentmi musí študent stavať pre konkrétne lichobežníky. Môže ľahko zobraziť stredovú čiaru a segment, ktorý prechádza bodom O - priesečník diagonálov obrázku - rovnobežne so základňami. Ale kde bude tretí a štvrtý? Táto odpoveď bude viesť študenta k objaveniu požadovaného spojenia medzi strednými hodnotami.

Segment, ktorý spája stredy uhlopriečok lichobežníka

Zoberme si nasledujúcu vlastnosť tohto obrázku. Predpokladáme, že segment MN je rovnobežný so základmi a rozdeľuje diagonály na polovicu. Priesečníky sa nazývajú W a W. Tento segment sa bude rovnať základnému polovičnému rozdielu. Pozrime sa na to podrobnejšie. MS je stredná čiara trojuholníka ABC, je rovná BS / 2. MN je stredná čiara trojuholníka ABD, sa rovná AD / 2. Potom získame, že M, = MN-MN a teda M, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Ťažisko

Pozrime sa, ako je tento prvok definovaný pre daný geometrický obrázok. Preto je potrebné rozšíriť základne v opačných smeroch. Čo to znamená? Je potrebné pridať do hornej základne spodnú časť - na obidve strany, napríklad vpravo. A dno je predĺžené o dĺžku vľavo hore. Potom ich spojte s uhlopriečkou. Priesečník tohto segmentu so strednou čiarou obrázku je ťažiskom lichobežníka.

Popisované a opísané lichobežníky

Vymenujme si funkcie takýchto čísel:

1. Trapezoid môže byť zapísaný do kruhu len vtedy, ak je to rovnoramenné.

2. Okolo obvodu je možné opísať lichobežník za predpokladu, že súčet dĺžok ich základov sa rovná súčtu dĺžok bočných strán.

Dôsledky zapísaného kruhu:

1. Výška opísaného lichobežníka sa vždy rovná dvom polomerom.

2. Bočná strana opísaného lichobežníka je pozorovaná zo stredu kruhu v pravom uhle.

Prvý dôsledok je zrejmý a na preukázanie druhej je potrebné stanoviť, že uhol SOD je priamy, čo v skutočnosti nie je ani veľa ťažkostí. Znalosť tejto vlastnosti nám však pri riešení problémov umožní použiť pravouhlý trojuholník.

Teraz konkretizujeme tieto dôsledky pre rovnoramenný lichobežník, ktorý je zapísaný do kruhu. Zistili sme, že výška je geometrický priemer základne obrázku: H = 2R = √ (BS * AD). Pri vypracovaní základnej metódy riešenia problémov s lichobežníkmi (princíp držania dvoch výšok) musí študent riešiť nasledujúcu úlohu. Predpokladáme, že BT je výška rovnoramennej postavy ABSD. Je potrebné nájsť segmenty AT a TD. Použitie vyššie opísaného vzorca, to nebude ťažké robiť.

Teraz poďme zistiť, ako určiť polomer kruhu pomocou oblasti opísaného lichobežníka. Znižujeme výšku z vrcholu B na základňu krvného tlaku. Keďže kruh je zapísaný do lichobežníka, potom BS + AD = 2AB alebo AB = (BS + AD) / 2. Z trojuholníka ABN nájdeme sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Získame PABSD = (BS + AD) * R, z toho vyplýva, že R = PABSD / (BS + AD).

,

Všetky vzorce stredovej čiary lichobežníka

Teraz je čas ísť na posledný prvok tejto geometrickej postavy. Pozrime sa, čo je stredná čiara lichobežníka (M):

1. Prostredníctvom základov: M = (A + B) / 2.

2. Prostredníctvom výšky, základne a uhlov:

• M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Prostredníctvom výšky, uhlopriečok a uhla medzi nimi. Napríklad D1 a D2 sú diagonály lichobežníka; A, β sú uhly medzi nimi:

M = D1 * D2 * sina / 2H = Dl * D2 * sib / 2H.

4. Prostredníctvom oblasti a výšky: M = P / H.