Riemann hypotéza. distribúcia prvočísel

V roku 1900, jeden z najväčších vedcov minulého storočia, David Hilbert urobil zoznam skladajúci sa z 23 nevyriešených problémov matematiky. Práce na nich mal obrovský vplyv na rozvoj tejto oblasti ľudského poznania. Po 100 rokoch v Clay matematickom inštitúte predstavila zoznam siedmich problémov, známych ako ciele tisícročia. Na rozhodnutie každého z nich bola ponúknutá cenu $ 1 milión.

Jediným problémom, ktorý bol jedným z dvoch zoznamov hádaniek, po stáročia nedal odpočinok vedcov sa stal Riemann hypotéza. Ona je stále čaká na jeho rozhodnutie.

Stručné životopisné informácie

Georg Friedrich Bernhard Riemann sa narodil v roku 1826 v Hannoveri, vo veľkej rodine chudobného pastora a žil len 39 rokov. Podarilo sa mu publikovať 10 papiere. Avšak, v priebehu života Riemann mal za nástupcu svojho učiteľa Johann Gauss. Na 25 rokov mladý vedec obhájil prácu "Základy teórie funkcií komplexnej premennej." Neskôr formuloval svoju hypotézu, ktorý sa stal slávnym.

prvočísla

Matematiky prišiel, keď sa človek naučil počítať. Potom vznikol prvý predstavu o čísla, ktoré sa neskôr snažili zaradiť. Bolo zistené, že niektoré z nich majú spoločné vlastnosti. Najmä medzi prirodzené čísla m. E. tie, ktoré boli použité na výpočet (číslovanie), alebo určeným počtom kusov bolo pridelené skupinu ako, ktoré sú rozdelené iba jeden a samy o sebe. Hovorilo sa im jednoduché. Elegantný dôkazu vety nekonečné množiny čísel poskytnutých Euclid v jeho "Elements". V túto chvíľu sme pokračovali v pátraní. Najmä, najväčší z radu známych ² 74207281 - 1.

Eulerova formula

Spolu s predstavou nekonečne veľa prvočísel Euclid definované a druhej vete jediným možným faktorizácia. Podľa neho je ľubovoľné kladné celé číslo je produkt len jednej sady pripraví. V roku 1737, veľký nemecký matematik Leonhard Euler vyjadril najprv Eukleidova vety o nekonečnu vzorca uvedeného nižšie.

To sa nazýva funkcia zeta, kde y - konštantný a p je všetko jednoduché hodnoty. Z nej priamo nasleduje a schválenie jedinečnosti rozšírenie Euclid.

Riemann zeta

Eulerova rovnice pri bližšom pohľade je pozoruhodné, ako je daná pomerom medzi jednoduché a celé čísla. Koniec koncov, v ľavom boku sú násobené nekonečne veľa výrazov, ktoré sú závislé len na jednoduché, a v správnom množstve je spojená so všetkými pozitívnymi celými číslami.

Riemann išiel na Euler. V snahe nájsť kľúč k problému rozdelenie čísel, sa navrhuje stanoviť vzorec pre reálne a komplexnej premennej. Bola to ona, kto neskôr sa stal známy ako Riemann zeta fungujú. V roku 1859 vedec publikoval článok s názvom "Na počet prvočísel, ktoré neprekračujú vopred stanovenej hodnoty", v ktorom zhrnula všetky svoje nápady.

Riemann navrhol použitia radu Euler, konvergentné pre všetky reálne s> 1. Ak je rovnaký vzorec sa používa pre zložité s, potom séria tak budú pre všetky hodnoty premennej s reálnou časťou je väčšia ako 1. Riemann použil analytický pokračovanie postupu, pri rozširovaní definície zeta (y) pre všetky komplexné čísla, ale "hádzanie" jednotky. To nebolo možné, pretože v prípade, s = 1 zeta funkcia sa zvýši na nekonečno.

praktický zmysel

Naskytá sa otázka: čo je zaujímavé a dôležité funkcie zeta, čo má zásadný význam v práci Riemann na nulovej hypotézy? Ako viete, v tejto chvíli nebol nájdený jednoduchý vzor, ktorý popisuje rozdelenie prvočísel medzi prirodzeným. Riemann schopný detekovať, že počet pí (X) prvočísel, ktoré nie sú vyššie ako x, je vyjadrená distribúciou netriviálne funkcie nulový zeta. Okrem toho je Riemann hypotéza je nevyhnutnou podmienkou na preukázanie dočasné vyhodnotenie niektorých kryptografických algoritmov.

Riemann hypotéza

Jedným z prvých formulácií tohto matematického problému, nie je preukázané, že tento deň je: triviálne 0 zeta funkcia - komplexné čísla s reálnou časťou rovné ½. Inými slovami, sú usporiadané na priamke Re S = jednu polovicu.

K dispozícii je tiež generalizované Riemann hypotéza, ktorá je rovnaká tvrdenie, ale pre zovšeobecnenie Zeta-funkcie, ktoré sa nazývajú Dirichlet (viď. Fotografie nižšie) L-funguje.

Vo vzorci × (n) - číselný znak (mod k).

Vyhlásenie Riemannova je takzvaná nulová hypotéza, ako bol overený pre súlad s existujúcimi dátami vzoriek.

Ako som tvrdil, Riemann

Poznámka: nemecký matematik bol pôvodne formulovaný celkom uvoľnene. Faktom je, že v tom čase vedec chcel dokázať vetu o distribúciu pripraví, a v tejto súvislosti táto hypotéza nemá veľký vplyv. Avšak, jeho úloha pri riešení mnohých ďalších problémov je obrovský. Preto je Riemann hypotéza zatiaľ mnoho vedcov rozpoznať najdôležitejšie z nevyskúšané matematických problémov.

Ako už bolo povedané, dokázať vetu o rozdelení plného Riemann hypotéze nie je nutné, a celkom logicky dokázať, že reálna časť každej netriviálne nulu zeta funkcia je medzi 0 a 1. Táto vlastnosť znamená, že súčet všetkých 0-m zeta funkcia, ktorá sa objaví v presnom vzorci vyššie, - konečný konštantný. Pre veľké hodnoty x, to všetko môže byť stratené. Jediný člen všeobecného vzorca, ktoré zostanú nezmenené aj pri veľmi vysokých x, x je sám. Zvyšok zložitých podmienok v porovnaní s ňou asymptoticky zmizne. To znamená, že vážený súčet tendenciu x. Tento fakt možno považovať za dôkaz pravdivosti Teorema prvočísla. To znamená, že nuly Riemann zeta objavia osobitnú úlohu. Je dokázať, že tieto hodnoty nemôžu významne prispieť k rozšíreniu vzorca.

Riemann nasledovníci

Tragická smrť na tuberkulózu zabrániť vedcov priviesť k logickému konci programu. Avšak, vzal obušok z W-F. de Vallée Poussin la a Zhak Adamar. Nezávisle na sebe, že stiahla teorém prvočísla. Hadamard a Poussin sa podarilo dokázať, že všetky netriviálne funkcii 0 zeta sa nachádzajú v kritickom pásme.

Vďaka práci týchto vedcov, nový odbor matematiky - analytickej teórie čísel. Neskôr, iní výskumníci dostali trochu viac primitívne dôkazu vety pracoval v Ríme. Najmä Paul Erdős a Atle Selberg otvorili aj potvrdzuje jeho vysoko komplexné reťazec logiky, nevyžaduje použitie komplexnej analýzy. Avšak, v tomto bode sa myšlienka Riemann niekoľko dôležitých viet bolo preukázané, vrátane aproximácie mnohých funkcií teórie čísel. V súvislosti s touto novou prácu Erdős a Atle Selberg prakticky nič nemení.

Jeden z najjednoduchších a najkrajšie dôkazy o probléme bola nájdená v roku 1980 Donald Newman. To bolo založené na dobre známom Caucho veta.

Hrozil v prípade Riemannova hypotéza je základom modernej kryptografie

šifrovanie dát sa objavili s výskytom postáv, alebo skôr, že samy o sebe môžu byť považované za prvý kód. V súčasnej dobe existuje celý nový trend digitálneho kryptografia, ktorá sa zaoberá vývojom šifrovacích algoritmov.

Jednoduché a "polojednoduché" číslo m. E. Tie, ktoré sú iba rozdelený do dvoch iných položiek rovnakej triedy, sú základom systému verejného kľúča, známy ako RSA. Má široké uplatnenie. Najmä sa používa pri vytváraní elektronického podpisu. Ak budeme hovoriť, pokiaľ ide o dostupné "kanvica", Riemann hypotéza tvrdí existenciu systému v distribúciu pripraví. Tak, významne znížil odpor kryptografických kľúčov, na ktorých závisí bezpečnosť online transakcií v oblasti e-commerce.

Iné nevyriešené matematické problémy

Kompletný článok stojí za to venovať pár slov k iným úlohám tisícročia. Patria medzi ne:

• Rovnosť tried P a NP. Problém je formulovaný nasledovne: v prípade, že kladná odpoveď na danú otázku je overená v polynomial čase, potom je to pravda, že on sám je odpoveď na túto otázku možno nájsť rýchlo?
• Hodge dohad. Zjednodušene povedané možno povedať takto: u niektorých typov projektívne algebraických variet (medzier) Hodge cykly sú kombinácie objektov, ktoré majú geometrickú interpretáciu, tj algebraické cykly ...
• Poincaré dohad. Je to jediný preverený na problémy moment tisícročia. Podľa neho je akýkoľvek trojrozmerný predmet majúci špecifické vlastnosti 3-rozmerné gule, gule, musí byť s presnosťou na deformáciu.
• Schválenie kvantového Yang - Mills teórie. Musíme dokázať, že kvantovú teóriu, predložený týchto vedcov do priestoru R ^4, je 0-hmotnostný defekt pre všetky jednoduché kalibráciu kompaktné skupiny G.
• Hypotéza brezovej - Swinnerton-Dyer. To je ďalší problém, ktorý je relevantný pre kryptografiu. Jedná sa o eliptických kriviek.
• Problém existencie a hladkosť riešenie Navier - Stokes rovnice.

Teraz už viete, Riemann hypotézu. Zjednodušene povedané, sme formulovali a niektoré z ďalších cieľov tisícročia. Skutočnosť, že sa bude riešiť, alebo sa preukáže, že nemajú riešenie - je to otázka času. A je nepravdepodobné, že musí čakať príliš dlho, pretože matematika je stále viac využívajú výpočtový výkon počítačov. Avšak, nie všetko, čo je predmetom danej problematike a riešiť vedecké problémy v prvom rade vyžaduje intuíciu a tvorivosť.