Mnohosten. Typy polyhedra a ich vlastnosti

Polyhedra nielen zaujímajú významné miesto v geometrii, ale vyskytujú sa aj v každodennom živote každej osoby. Nehovoriac o umelo vytvorených objektoch každodenného použitia vo forme rôznych polygónov, začínajúc zápasníkom a končiac s architektonickými prvkami, v prírode existujú aj kryštály vo forme kocky (soľ), hranoly (kryštály), pyramidy (scheelit), oktahedra (diamanty) a t d ..

Pojem polyhedron, typy polyhedra v geometrii

Geometria ako veda obsahuje časť stereometrie, ktorá skúma vlastnosti a vlastnosti trojrozmerných postáv. Geometrické telesá, ktorých strany v trojrozmernom priestore sú tvorené ohraničenými rovinami (tváre), sa nazývajú "polyhedra". Druhy polyhedra počet viac ako desiatok zástupcov, líšia sa v počte a tvare tváre.

Napriek tomu všetky polyhedry majú spoločné vlastnosti:

1. Všetky z nich majú 3 integrálne komponenty: tvár (povrch polygonu), vrchol (uhly vytvorené na spojenie tvárí), okraj (strana postavy alebo segment vytvorený na spojenie oboch strán).
2. Každá hrana polygónu sa spája s dvomi a iba dvoma plochami, ktoré sú vedľa seba.
3. Konvexita znamená, že telo je úplne umiestnené len na jednej strane roviny, na ktorej leží jedna z tvárí. Toto pravidlo platí pre všetky tváre polyhedronu. Takéto geometrické postavy v stereometrii sa nazývajú konvexné polyhedry. Výnimkou sú hviezdy polyhedra, ktoré sú derivátmi pravidelných polyhedrálnych geometrických telies.

Polyhedra možno rozdeliť na:

1. Druhy konvexnej polyhedry pozostávajúce z nasledujúcich tried: bežných alebo klasických (hranol, pyramída, rovnobežnosť), pravidelné (tiež nazývané platónske telá), semi-pravidelné (druhé meno - Archimedecké telá).
2. Nonconvex polyhedra (stellate).

Prism a jeho vlastnosti

Stereometria ako časť geometrie skúma vlastnosti trojrozmerných tvarov, typy polyhedra (prizma v ich počte). Prizma je geometrické teleso, ktoré nevyhnutne má dve úplne identické tváre (nazývané tiež základy) ležiace v rovnobežných rovinách a n-tý počet bočných plôch vo forme paralelogramov. Na druhej strane, hranol má tiež niekoľko odrôd, vrátane takých typov polyhedra ako:

1. Paralelipiped - vzniká, ak je v základni rovnobežník - polygón s dvoma dvojicami rovnakých protiľahlých uhlov a dvoma párami kongruentných protiľahlých strán.
2. Priamy hranol má kolmé hrany k základni.
3. Šikmý hranol je charakterizovaný prítomnosťou nepriamych uhlov (iných ako 90) medzi plochami a základňou.
4. Správny hranol je charakterizovaný základňami vo forme pravidelného polygónu s rovnakými bočnými plochami.

Základné vlastnosti hranola:

• Zhodujúce sa základy.
• Všetky hrany hranola sú rovnobežné a rovnobežné navzájom.
• Všetky bočné plochy majú tvar rovnobežníka.

Pyramída

Pyramida je geometrické teleso, ktoré pozostáva z jednej základne a n-tého počtu trojuholníkových tvárí spojujúcich sa v jednom bode - vrchole. Treba poznamenať, že ak sú bočné strany pyramídy reprezentované trojuholníkmi, potom v základni môže byť tak trojuholníkový polygón, štvoruholník a päťuholník a tak ďalej ad infinitum. Názov pyramídy bude zodpovedať polygónu v spodnej časti. Napríklad, ak je v dolnej časti pyramídy trojuholník, ide o trojuholníkovú pyramídu, štvorhranný štvorhranný a tak ďalej.

Pyramídy sú kužeľovité polyhedra. Druhy polyhedrov tejto skupiny okrem vyššie uvedených zahŕňajú aj nasledovných zástupcov:

1. Pravá pyramída má na základni pravidelný polygón a jej výška je premietaná do stredu kruhu zapísaného v základni alebo popísaného okolo neho.
2. Obdĺžniková pyramída vzniká, keď jeden z bočných okrajov pretína so základňou v pravom uhle. V tomto prípade je táto hrana tiež správne nazývaná výška pyramídy.

Vlastnosti pyramídy:

• Ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké (rovnakej výšky), potom sa všetky pretínajú so základňou pod určitým uhlom a okolo základne môžete nakresliť kruh so stredom, ktorý sa zhoduje s výstupkom hornej časti pyramídy.
• Ak je v spodnej časti pyramídy pravidelný polygón, všetky bočné hrany sú rovnaké a tváre sú rovnoramenné trojuholníky.

Správny polyhedrón: typy a vlastnosti polyhedra

V stereometrii je zvláštne miesto obsadené geometrickými telesami s absolútne rovnakými stranami, na vrcholoch ktorých je spojených rovnaký počet okrajov. Tieto telá sa nazývajú platónske telá alebo pravidelné polyhedry. Typy polyhedrov s týmito vlastnosťami majú iba päť čísel:

1. Štvorsten.
2. Šesťhrany.
3. Oktaéder.
4. Dodecahedrón.
5. Icosahedron.

Podľa ich mena sú správne polyhedry kvôli gréckemu filozofovi Platovi, ktorý opísal tieto geometrické telá vo svojich dielach a spájal ich s prírodnými prvkami: zemou, vodou, ohňom, vzduchom. Piate číslo získalo podobnosť so štruktúrou vesmíru. Podľa jeho názoru atómy prírodných prvkov pripomínajú tvar pravidelných polyhedrov. Vzhľadom na svoju fascinujúcu vlastnosť - symetriu, tieto geometrické telá boli veľmi zaujímavé nielen pre starých matematikov a filozofov, ale aj pre architektov, umelcov a sochárov všetkých čias. Prítomnosť iba 5 typov polyhedra s absolútnou symetriou bola považovaná za základný nález, dokonca bola udelená spojitosť s božským začiatkom.

Hexahedron a jeho vlastnosti

V tvare šesťuholníka nástupcovia Platóna predpokladali podobnosť so štruktúrou atómov zeme. Samozrejme, že v súčasnosti je táto hypotéza úplne vyvrátená, čo však nebráni osobám, aby priťahovali myšlienky známych osobností v ich estetike.

V geometrii je hexaedrón, tiež kocka, považovaný za konkrétny prípad rovnobežnosteny, čo je zase druh prizmatu. Preto vlastnosti kocky súvisia s vlastnosťami hranola s jediným rozdielom, že všetky tváre a uhly kocky sú navzájom rovné. To znamená nasledujúce vlastnosti:

1. Všetky okraje kocky sú zhodné a ležia v rovnobežných rovinách vzhľadom na seba.
2. Všetky tváre sú kongruentné štvorce (v kocke je 6), z ktorých každá môže byť považovaná za základňu.
3. Všetky medzifázové uhly sa rovnajú 90.
4. Z každého vrcholu príde rovnaký počet okrajov, konkrétne 3.
5. Kocka má 9 osí symetrie, ktoré sa pretínajú v priesečníku diagonálov hexahedronu, ktorý sa nazýva stred symetrie.

štvorsten

Tetrahedrón je štvorstenec s rovnými čelami vo forme trojuholníkov, z ktorých každý vrchol je bod spojenia troch tvárí.

Vlastnosti pravidelného štvorstenca:

1. Všetky tváre štvorstenca sú rovnostranné trojuholníky, z čoho vyplýva, že všetky strany štvorstenca sú kongruentné.
2. Keďže základňa je reprezentovaná pravidelnou geometrickou postavou, to znamená, že má rovnaké strany, potom sa tváre štvorstendu zbiehajú v rovnakom uhle, to znamená, že všetky uhly sú rovnaké.
3. Súčet rovinných uhlov u každého z vrcholov je 180, pretože všetky uhly sú rovnaké, potom akýkoľvek uhol normálneho štvorstenca je 60.
4. Každý z vrcholov je premietnutý do priesečníka výšky opačnej (orthocenterovej) plochy.

Octahedron a jeho vlastnosti

Opisujúc typy bežných polyhedrov, nemožno nevšimnúť objekt, akým je napríklad oktaedrón, ktorý môže byť vizuálne zastúpený vo forme dvoch štvoruholníkových pravidelných pyramíd, ktoré sú navzájom spájané základňami.

Vlastnosti oktaedra:

1. Samotný názov geometrického tela nám hovorí o počte jeho tvárí. Osemuholník sa skladá zo 8 kongruentných rovnostranných trojuholníkov, na každom vrchole ktorého je rovnaký počet tvárí, menovite 4.
2. Keďže všetky tváre oktaedru sú rovnaké, jeho uhly s uhlovým uhlom, každý rovný 60, sú rovnaké a súčet rovinných uhlov ktoréhokoľvek z vrcholov je teda 240.

Dodecahedrón

Ak si predstavíme, že všetky tváre geometrického tela sú pravidelným päťuholníkom, dostaneme dodecahedrón - postavu 12 polygónov.

Vlastnosti dodecahedrónu:

1. Každý vrchol pretína tri tváre.
2. Všetky tváre sú rovnaké a majú rovnakú dĺžku okrajov a rovnakú plochu.
3. Dodecahedrón má 15 osí a roviny súmernosti a každá z nich prechádza vrcholom tváre a stredom opačného okraja.

icosahedron

Nemenej zaujímavé ako dodecahedrón, ikosahedrón je objemné geometrické teleso s dvoma rovnakými tvárami. Medzi vlastnosťami bežného dentagónu možno poznamenať:

1. Všetky tváre ikosahedra sú rovnoramenné trojuholníky.
2. Každý vrchol polyédra konverguje na päť tvárí a súčet susedných uhlov vrcholov je 300.
3. Ichosahedrón má, podobne ako dodecahedrón, 15 osí a rovinám symetrie prechádzajúcich stredmi protiľahlých plôch.

Poloregulované polygóny

Okrem platinových pevných látok obsahuje skupina konvexnej polyhedry tiež ar- midimské telá, ktoré sú skrátené pravidelné polyhedry. Typy polyhedrov tejto skupiny majú nasledujúce vlastnosti:

1. Geometrické telesá majú dvojicu rovnaké tváre niekoľkých typov, napríklad skrátený štvorsten má 8 tvárí ako aj bežný štvorsten, avšak v prípade Archimedovho tela 4 budú tváre triangulárne a 4 - šesťuholníkové.
2. Všetky uhly jedného vrcholu sú zhodne.

Star polyhedra

Predstavitelia neexistujúcich typov geometrických telies sú hviezdicové polyhedry, ktorých tváre sa navzájom pretínajú. Môžu byť tvorené fúziou dvoch pravidelných trojrozmerných telies alebo v dôsledku pokračovania ich tvárí.

Takéto známe hviezdicové polyhedry sú známe: hviezdicový oktaedrón, dodecahedrón, ikosahedrón, kuboktahedral, ikosododekedrón.