Fourierov rad: história a vplyv matematického mechanizmu pre rozvoj vedy

Fourierov rad - tento pohľad ľubovoľne zvolená funkcia obdobie v rade. Všeobecne povedané, tento roztok sa nazýva rozpínací prvok na ortogonálne báze. Rozšírenie funkcií Fourier séria je veľmi mocný nástroj pre riešenie rôznych problémov v dôsledku vlastností transformácie v integračnom, diferenciácie, ako aj posun v argumente výraz a konvolúcie.

Osoba, ktorá nie je oboznámený s vyššej matematiky, rovnako ako s prácou francúzskeho vedca Fourier, s najväčšou pravdepodobnosťou nebude rozumieť, čo "pozície" a čo robia. Zatiaľ táto transformácia je pomerne pevne zadaná naše životy. Používa sa nielen matematiku, ale aj fyzici, chemici, lekári, astronómami, seismologists, oceanographers a ďalšie. Poďme tiež sa bližšie s prácou veľkého francúzskeho vedca, ktorý urobil objav, predbehol svoju dobu.

Muž a Fourierova transformácia

Fourierov rad je jednou z metód (spolu s analýzou a ďalšie) Fourierovej transformácie. Tento proces prebieha zakaždým, keď človek počuje zvuk. Naše ucho automaticky prevedie na zvukové vlny. Oscilačný pohyb elementárnych častíc v elastického médiá sa rozšírila do radu (spektra) hodnôt po sebe idúcich objem pre tóny rôznych výšok. Ďalej mozog prevedie tieto údaje do známych zvukov pre nás. To všetko je navyše k našej túžbe alebo samotné vedomie, ale s cieľom porozumieť procesom, ktoré sa niekoľko rokov študovať vyššej matematiky.

Prečítajte si viac o Fourierova transformácia

Fourierova transformácia môže byť vykonaná analytická, číslice a ďalšie metódy. Fourierovej radu sú číslice proces rozkladania žiadne oscilačné procesy - z prílivu na oceán a vlny svetla do solárnych cyklov (a ďalších astronomických objektov) aktivity. Použitím týchto matematických metód, je možné demontovať funkciu, čo predstavuje nejaké oscilačná procesy v rade sínusových zložiek, ktoré idú od minima na maximum a vice versa. Fourierova transformácia je funkcia popisujúci fázy a amplitúdy sínusoíd, ktoré zodpovedajú konkrétnu frekvenciu. Tento proces môže byť použitý pre riešenie veľmi zložitých rovníc, ktoré popisujú dynamické procesy prebiehajúce pri pôsobení tepla, svetla alebo elektrická energia. Tiež, Fourier séria používa pre odlíšenie jednosmerné zložky v zložitých kriviek, aby bolo možné správne interpretovať experimentálne pozorovania v lekárstve, chémie a astronómie.

historické informácie

Za zakladateľa tejto teórie je francúzsky matematik Zhan Batist Zhozef Fure. Jeho meno neskôr a táto transformácia bola volaná. Spočiatku, vedci používajú techniku študovať a vysvetliť mechanizmy tepelnej vodivosti - šírenie tepla v pevných látkach. Fourier navrhol, že počiatočné nepravidelné rozloženie tepelné vlny môže byť rozložený do jednoduchého sínusoidy, z ktorých každá bude mať teplotné minimum a maximum, rovnako ako jeho fázy. Preto každé také zložky, ktoré sa majú merať z minima na maximum a naopak. Matematická funkcia, ktorá popisuje horné a dolné vrcholy krivky, rovnako ako fáza každej harmonickej, ktorá sa nazýva Fourierova transformácia rozloženie teplôt prejavu. Autorom teórie zníženej celkovej distribučnej funkcie, ktoré je ťažké matematického popisu, vo veľmi ľahká manipulácia rad periodických funkcií sínus a kosínus, vo výške dávať počiatočnej distribúciu.

Princíp konverzie a názory súčasníkov

Súčasníci vedca - vedúci matematici z počiatku devätnásteho storočia - nemal túto teóriu akceptovať. Hlavné námietka bolo schválenie Fourierovej, že nespojité funkcie opisujúce priamky alebo krivky sa roztrhané, môže byť reprezentovaný ako suma sínusových výrazov, ktoré sú kontinuálne. Ako príklad uvažujme "krok" Heaviside: jeho hodnota je nulová na ľavej strane medzery, a na pravej strane. Táto funkcia je uvedená závislosť elektrického prúdu na časové premenné k uzavretiu reťazca. Súčasné teórie v tej dobe, nikdy takú situáciu, kedy by sa diskontinuálnej výraz popísanou kombináciou spojitých, spoločných funkcií, ako je exponenciálny, sínusového, lineárne alebo kvadratickú stretol.

Čo vadilo francúzski matematici v teórii Fourierovej?

Koniec koncov, keď matematik správne argumentovať, potom súčet nekonečnej trigonometrické Fourierovej radu, je možné získať presné znázornenie kroku prejavu, a to aj v prípade, že má rad podobných krokov. Na začiatku devätnásteho storočia, toto tvrdenie sa zdalo absurdné. Ale napriek všetkým pochybnostiam, mnohí matematici rozšírili rozsah štúdia tohto fenoménu, pohybujúce sa nad rámec týchto štúdií tepelnej vodivosti. Avšak, väčšina vedcov aj naďalej trpieť otázku: "Môže byť súčet sínusového rad konverguje k presnému hodnote nespojité funkcie"

Konvergencia Fourierovej radu: Príklad

Problematika konvergencie vzrastie zakaždým, keď potrebujete súčtu nekonečné rady čísel. zvážiť klasický príklad pre pochopenie tohto javu. Môžete niekedy dostať do steny, keby každý krok je polovica predchádzajúca? Predpokladajme, že ste dva metre od brány, prvý krok bližšie k okolo pol cesty, ďalšie - značka troch štvrtín a po piatej, budete prekonať takmer 97 percent na ceste. Avšak, bez ohľadu na to, koľko krokov ste urobili tiež nie, jeho cieľom dostanete v prísnom matematickom zmysle. Pomocou numerických výpočtov, možno dokázať, že na konci, môže byť bližšie k ľubovoľne malú danú vzdialenosť. To je ekvivalentná doklad preukazujúci, že celková hodnota na jednu polovicu, štvrtinu, a tak ďalej. E. bude mať tendenciu k jednote.

Problematika konvergencia: druhý príchod, alebo nástrojom Lord Kelvin

Opakovane vyvstala otázka, na konci devätnásteho storočia, keď mnoho Fourier sa pokúsili použiť predvídať intenzitu ochabne a toky. V tej dobe, Lord Kelvin bol vynájdený prístroj je analógový počítač, ktorý umožňoval námorníci námorníctvo a obchodné loďstvo monitora je prirodzený jav. Tento mechanizmus definovaný súbor fáz a amplitúd výšky tabuľky prílivu a odlivu a zodpovedajúcich časových okamihoch, starostlivo meria v prístave v priebehu celého roka. Každý parameter je sínusový výšky expresie komponentov príliv a bol jedným z bežných zložiek. Výsledky merania sú privádzaná do výpočtového zariadenia Lord Kelvin, syntetizovať krivku, ktorá predpokladanú výšku vody ako funkcia nasledujúceho roka. Veľmi skoro sa tieto krivky boli vypracované pre všetky prístavy na svete.

A ak bude tento proces rozdelí nesúvislú funkciu?

V tom čase bolo zrejmé, že prístroj predpovedá prílivovú vlnu, s mnohými prvkami účtu možno vypočítať celý rad fáz a amplitúd, a tak poskytnúť presnejšie predpoveď. Avšak sa ukázalo, že tento vzor nie je pozorovaný v prípadoch, keď prílivové výraz, ktorý sa syntetizuje, obsiahnutých ostrý skok, to znamená, že sú nespojité. V prípade, že zariadenie pre vstup dát z tabuľky časových bodov, vypočíta niekoľko Fourier koeficienty. Obnovenie pôvodnú funkciu vzhľadom k sínusovej zložky (podľa zistených koeficientov). Rozdiel medzi pôvodnou a rekonštruované expresie môže byť meraná v každom bode. Keď sa opakované výpočty a porovnania je zrejmé, že hodnota najväčšej chyby sa nezníži. Avšak, že sú lokalizované v oblasti, ktorá zodpovedá bodu prasknutie, a akýkoľvek iný bod majú tendenciu k nule. V roku 1899 tento výsledok bol potvrdený teoreticky Joshua Willard Gibbs na Yale University.

Konvergencia Fourierových radov a rozvoj matematiky ako celok

Fourier analýza sa nevzťahuje na výrazy, ktoré obsahujú nekonečný počet trhlín v určitom intervale. Všeobecne Fourierovej radu, v prípade, že pôvodná funkcia reprezentovaná v dôsledku skutočných fyzikálnych meraní, a to vždy zbiehajú. Otázky konvergencie tohto procesu pre konkrétne triedy funkcií, viedli k novej matematické odbory, ako je teória zovšeobecnených funkcií. Je spojená s menami ako Schwartz, J .. Mikusiński a J. Temple. Podľa tejto teórie, jasný a presný teoretický základ pre túto expresiu bolo stanovené ako delta funkcie Diracova (popisuje oblasť jednej oblasti, koncentruje vo nekonečne okolí bodu), a "krok" Heaviside. Prostredníctvom tejto práce Fourierov rad stala použiteľnými pre riešenie rovníc a problémov, ktoré sa týkajú intuitívne koncepty: bodový náboj, hmotný bod, magnetický dipól a koncentrované zaťaženie na nosníku.

Fourier metóda

Fourier série, v súlade so zásadami rušeniu začína rozkladom zložitých tvarov do jednoduchšie. Napríklad, zmena toku tepla v dôsledku priechodu rôznymi prekážkami v tepelnoizolačného materiálu s nepravidelným tvarom alebo meniace sa povrch pôdy - zemetrasenie, zmena obežnej dráhy nebeské teleso - vplyvom planét. Obvykle sú tieto rovnice opisujúce jednoduchý klasický systém elementárne riešené pre jednotlivé vlnové dĺžky. Fourier ukázalo, že jednoduché riešenie možno zhrnúť pre zložitejšie úlohy. Jazykom matematiky, Fourierova rad - metodika pre podanie expresného súčtu harmonických - cos a sine vĺn. Preto táto analýza je tiež známy pod názvom "harmonická analýza".

Fourierov rad - ideálny spôsob, ako sa "počítačové veku"

Prior k vytvoreniu výpočtovej techniky Fourier metóda je najlepšia zbraň v arzenáli vedcov pracujúcich s vlnovou povahu nášho sveta. Fourierovej radu v komplexnom tvare umožňuje nielen riešiť jednoduché problémy, ktoré sú prístupné priame použitie Newtonových zákonov mechaniky, ale aj základná rovnica. Väčšina objavov newtonovskej vedy devätnásteho storočia bolo možné len vďaka Fourier metóda.

Fourierov rad dnes

S rozvojom Fourierova transformácia počítačov vzrástol na novú úroveň. Táto technika je pevne zakotvený v takmer všetkých oblastiach vedy a techniky. Ako príklad možno uviesť, digitálne audio a video. Jeho realizácia bola umožnená len vďaka teóriu vyvinuté francúzskou matematik z počiatku devätnásteho storočia. To znamená, že Fourierov rad v komplexnom tvare umožnil, aby prielom v štúdiu kozmického priestoru. Okrem toho, že má vplyv na štúdium fyziky polovodičových materiálov a plazmy, mikrovlnné akustiku, oceánografie, radaru seizmológie.

Rad trigonometrické Fourier

V matematike, Fourierovej radu, je spôsob, ako reprezentovať ľubovoľných komplexné funkcie ako súčet jednoduchšie. V všeobecných prípadoch je počet výrazov môže byť nekonečný. Čím väčší je počet počíta vo výpočte, sa získa presnejší konečný výsledok. Najbežnejšie použitie jednoduchých goniometrické cosinus alebo funkcie sínus. V tomto prípade je Fourierov rad sa nazýva goniometrické a rozhodnutia týchto výrazov - harmonického rozkladu. Táto metóda zohráva dôležitú úlohu v matematike. Po prvé sa trigonometrické rady poskytuje prostriedky pre obraz, rovnako ako štúdium funkcií, to je hlavná jednotka teórie. Okrem toho nám umožňuje riešiť celý rad problémov v matematickej fyzike. A konečne, táto teória prispeli k rozvoju matematickej analýzy, by dal vzniknúť celej rade veľmi dôležitých odvetviach matematické vedy (teória integrálov, teóriu periodických funkcií). Okrem toho je východiskom pre vývoj týchto teórií: množiny, funkcia reálnej premennej, funkčnú analýzu, a tiež položil základ pre harmonické analýzy.