Derivát sínusového uhla je rovnaký ako kosínus s rovnakým uhlom

Vzhľadom na najjednoduchšiu trigonometrickú funkciu y = Sin (x) je v každom zo svojich bodov diferencovaný od celej domény definície. Je potrebné preukázať, že derivát sínusu akéhokoľvek argumentu sa rovná kosínusu s rovnakým uhlom, to znamená y '= Cos (x).

Dôkaz je založený na definícii derivátu funkcie

Definujeme x (ľubovoľné) v niektorom malom okolí Δx určitého bodu x0. Ukážeme hodnotu funkcie v ňom av bode x nájdeme prírastok danej funkcie. Ak Δx je prírastok argumentu, potom je nový argument x ₀ + Δx = x, hodnota tejto funkcie pre danú hodnotu argumentu y (x) je Sin (x ₀ + Δx), hodnota funkcie v určitom bode y (x ₀ ) ,

Teraz máme Δy = Sin (x ₀ + Δx) -Sin (x ₀ ) je prírastok získanej funkcie.

Podľa sínusového vzorca súčtu dvoch nerovnakých uhlov budeme transformovať rozdiel Δy.

(Cos) = cos (Δx) + cos (x ₀ ) · sin (xx) mínus Sin (x ₀ ) = (cos (Δx) · Sin (Δx).

Vykonala sa permutácia termínov, zoskupila prvý s tretím Sin (x ₀ ), nesie spoločný multiplikátor - sine - pre zátvorky. Vo výraze sme získali rozdiel Cos (Δx) -1. Zostáva zmeniť označenie pred konzolou a v zátvorkách. Keď vieme, čo je 1-Cos (Δx), urobíme nahradenie a získame zjednodušený výraz Δy, ktorý potom rozdelíme Δx.
Δy / Δx bude mať tvar: Cos (x ₀ ) · Sín (Δx) / Δx-2 · Sín ² (0,5 · Δx) · Sin (x ₀ ) / Δx. Toto je pomer prírastku funkcie k povolenému prírastku argumentu.

Zostáva nájsť limit pomeru lim získaný pre Δx tendenciu na nulu.

Je známe, že hraničný sin (Δx) / Δx sa rovná 1, za týchto podmienok. Výraz 2 · Sín ² (0,5 · Δx) / Δx vo výslednom kvocientu sa zníži na výrobok obsahujúci prvý pozoruhodný limit ako násobiteľ: rozdeliť čitateľ a menovateľ zlomku o 2, nahradiť štvorec sínusu výrobkom. Tu:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Limit tohto výrazu pre Δx tendenciu k nule je rovný nule (1 násobené 0). Ukazuje sa, že hranica pomeru Δy / Δx je Cos (x ₀ ) · 1-0, to je Cos (x ₀ ), výraz, ktorý nezávisí na Δx tendenciu na 0. To vedie k záveru, že sinusový derivát ktoréhokoľvek uhla x je Cosine x, píšeme ako y '= Cos (x).

Výsledný vzorec je zadaný v známej tabuľke derivátov, kde sú všetky elementárne funkcie

Pri riešení problémov, pri ktorých dochádza k derivácii sinusu, je možné z tabuľky použiť pravidlá diferenciácie a hotové vzorce. Napríklad: nájdite derivát najjednoduchšej funkcie y = 3 · Sin (x) -15. Používame základné pravidlá diferenciácie, odstránenie číselného faktora za znamienkom derivátu a výpočet derivátu konštantného čísla (je to nula). Aplikujeme tabuľkovú hodnotu derivácie sinusu uhla x, ktorý sa rovná Cos (x). Dostávame odpoveď: y '= 3 · Cos (x) -O. Tento derivát je zase tiež elementárnou funkciou y = 3 · Cos (x).

Derivácia sinusu je vyčíslená z akéhokoľvek argumentu

Pri výpočte tohto výrazu (Sin ² (x)) 'je potrebné si uvedomiť, ako sa diferencuje komplexná funkcia. Takže y = sin ² (x) - je výkonová funkcia, pretože sínus je štvorcový. Jeho argument je tiež trigonometrická funkcia, Komplexný argument. Výsledok v tomto prípade sa rovná produktu, ktorého prvým faktorom je derivát štvorca daného komplexného argumentu a druhý derivát sinusu. Takto vyzerá pravidlo pre diferenciáciu funkcie funkcie: (u (v (x))) 'sa rovná (u (v (x)))' (v (x)) '. Výraz v (x) je komplexný argument (vnútorná funkcia). Ak je funkcia "igrok rovná sínusu v štvorci x", potom derivát tejto komplexnej funkcie je y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). V produkte je prvý dvojnásobný multiplikátor derivátom známej výkonovej funkcie a Cos (x) je derivátom sínusu, argumentom komplexnej kvadratickej funkcie. Konečný výsledok možno transformovať pomocou trigonometrického sínusového vzorca dvojitého uhla. Odpoveď: derivát je Sin (2 · x). Tento vzorec je ľahko zapamätateľný, často sa používa ako tabuľkový.