Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Zákony teórie pravdepodobnosti

Mnoho ľudí, keď sa stretávajú s pojmom "teória pravdepodobnosti", strach, myslel, že to je niečo, čo nemožno tolerovať, veľmi ťažké. Ale je to vlastne nie je tak tragická. Dnes sa pozrieme na základné pojmy teórie pravdepodobnosti, naučiť sa riešiť problémy na konkrétnych príkladoch.

veda

Čo sa študuje odbor matematiky za "teóriu pravdepodobnosti"? Konštatuje vzory náhodných udalostí a premenných. Prvýkrát bola problematika poskytol vedcov v osemnástom storočí, kedy študoval hazardných hier. Základné pojmy z teórie pravdepodobnosti - udalosti. To je nejaká skutočnosť, že je stanovená na základe skúseností alebo pozorovania. Ale čo je to skúsenosť? Ďalším základným poňatie teórie pravdepodobnosti. To znamená, že táto časť týchto okolností nie sú omylom vytvorili, a účel. Čo sa týka dohľadu, tam je výskumník sám nezúčastňujú skúsenosti, ale jednoducho svedkom týchto udalostí, to nemá žiadny vplyv na to, čo sa deje.

diania

Zistili sme, že základný koncept teórie pravdepodobnosti - udalosti, ale nepovažoval klasifikáciu. Všetky z nich sú rozdelené do nasledujúcich kategórií:

• Spoľahlivé.
• Nemožné.
• Náhodná.

Bez ohľadu na to, čo je udalosť, ktorá je sledovaná alebo vytvorené v priebehu experimentu, sú ovplyvnené tejto klasifikácie. Ponúkame všetky typy stretnúť samostatne.

určitá udalosť

To je fakt, na základe ktorých by bolo potrebné súbor činností. Aby bolo možné lepšie pochopiť podstatu, je lepšie dať niekoľko príkladov. To je podriadený zákonu a fyziky, chémie, ekonómie a vyššej matematiky. Teória pravdepodobnosti zahŕňa taký dôležitý koncept ako významné udalosti. Tu je niekoľko príkladov:

• Pracujeme aj odmenu v podobe miezd.
• No zložil skúšky, prešiel súťaž za to dostávajú odmenu v podobe prijatia do vzdelávacej inštitúcie.
• Investovali sme peniaze v banke, je získať späť v prípade potreby.

Takéto udalosti sú pravdivé. Ak máme splnené všetky potrebné podmienky, aby sa ubezpečil, dostanete očakávané výsledky.

nemožný udalosť

Teraz uvažujeme prvky teórie pravdepodobnosti. Ponúkame ísť do vyjasnenia v týchto typov akcií - a to nemožné. Ak chcete začať stanoviť najdôležitejšie pravidlo - pravdepodobnosť nemožný udalosť je nulová.

Z tejto formulácie nemožno vylúčiť pri riešení problémov. Pre ilustráciu príklady takýchto udalostí:

• Voda je zmrazí pri teplote navyše desiatich (že je to možné).
• Nedostatok elektrickej energie nemá vplyv na produkciu (ako je možné ako v predchádzajúcom príklade).

Ďalšie príklady sú uvedené nie je nutné, ako je uvedené vyššie veľmi jasne odráža podstatu tejto kategórii. Nemožný udalosť nikdy sa stane v priebehu experimentu za žiadnych okolností.

náhodné udalosti

Tým, že študuje prvky teórie pravdepodobnosti, osobitnú pozornosť by mala byť venovaná daný typ udalosti. To sú tí, ktorí študujú túto vedu. Ako výsledok tejto skúsenosti niečo môže stať, alebo nie. Navyše test neobmedzený počet prípadov, keď sa môže vykonať. Pozoruhodné príklady obsahujú:

• Hodiť mincu - to je skúsenosť, alebo test, strata orla - túto akciu.
• Ťahaní loptičky z vrecúška slepo - testu, bol chytený červenú guľu - túto udalosť a tak ďalej.

Takéto príklady môže byť ľubovoľný počet, ale všeobecne by mali byť chápané. Zhrnúť a systematizovať získané poznatky o udalostiach z tabuľky. teórie pravdepodobnosti štúdie len druhý druh všetkých prezentované.

zákony

Teórie pravdepodobnosti - veda, ktorá študuje možnosť straty každom prípade. Rovnako ako ostatné má nejaké pravidlá. Tieto zákony teórie pravdepodobnosti:

• Konvergencia postupnosti náhodných premenných.
• Zákon veľkých čísel.

Pri výpočte možnosť komplexu možno použiť zložité jednoduché udalosti, aby sa dosiahlo výsledkov jednoduchší a rýchlejší spôsob. Všimnite si, že zákony pravdepodobnosti sú ľahko dokázal s pomocou niektorej z viet. Navrhujeme, aby sa zoznamujem s prvým zákonom.

Konvergencia postupnosti náhodných premenných

Všimnite si, že konvergencia niekoľkých typov:

• Sekvencia náhodných premenných konvergenciu pravdepodobnosti.
• Takmer nemožné.
• konvergencie RMS.
• Konvergencia v distribúcii.

Takže, za behu, je veľmi ťažké pochopiť podstatu. Tu sú definície, ktoré pomôže pochopiť tému. Ak chcete začať s prvý pohľad. Sekvencia sa nazýva konvergencie pravdepodobnosti, v prípade, že nasledujúce podmienky: n sa blíži k nekonečnu, číslo hľadal sekvencií je väčší ako nula, a v blízkosti jednotky.

Prejdite na ďalší pohľadu, takmer určite. Hovorí sa, že postupnosť konverguje takmer určite k náhodnej premennej n, tendenciu rásť do nekonečna, a R, majú tendenciu hodnotu blízku jednej.

Ďalším typom - konvergencie RMS. Pri použití konvergencie SC-learningové vektorových náhodných procesov znižuje k štúdiu náhodných súradníc procesov.

Bol posledný typ, poďme stručne vyzerať a prejsť priamo k riešeniu problémov. Konvergencia v distribúcii má iný názov - "slabá", potom sa vysvetliť prečo. Slabá konvergencie - je konvergencia rozdelenie funkcií vo všetkých bodoch spojitosti funkcie obmedzenia distribúcie.

Uistite sa, aby sľub: slabá konvergencia sa líši od všetkého predchádzajúceho vyplýva, že náhodná premenná nie je definovaná na priestore pravdepodobnosti. To je možné preto, že podmienka je vytvorilo výlučne pomocou distribučných funkcií.

Zákon veľkých čísel

Veľký pomocník v dôkazu zákona bude vety teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:

• Čebyševova nerovnosť.
• Čebyševova veta.
• Zovšeobecnený Chebyshev veta.
• Markov teorém.

Ak vezmeme do úvahy všetky tieto vety, potom problém môže trvať aj niekoľko desiatok listov. Máme hlavnú úlohu - je aplikácia teórie pravdepodobnosti v praxi. Ponúkame vám práve teraz a robiť to. Ale skôr, než budeme uvažovať o axiómy teórie pravdepodobnosti, sú kľúčovými partnermi pri riešení problémov.

axiómy

Od prvého dňa, sme už videli, keď hovorí o nemožné udalosti. Pripomeňme si: pravdepodobnosť nemožný udalosť je nulová. Príklad sme dali veľmi živé a zapamätateľné: napadol sneh pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.

Druhý je nasledujúci: a určitá udalosť nastane jednotou pravdepodobnosti. Teraz si ukážeme, ako je napísané pomocou matematického jazyka: P (B) = 1.

Po tretie: náhodný udalosť sa môže stať, alebo nie, ale možnosť je vždy pohybovať v rozmedzí od nuly do jednej. Čím bližšie je k jednote, tým väčšia šanca; ak je hodnota blízka nule, pravdepodobnosť je veľmi nízka. Píšeme to v jazyku matematiky: 0

Zoberme si posledný, štvrtý axióma, ktorý znie: súčet pravdepodobnosti dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobnosťou. Napísať matematické podmienky: P (A + B) = P (A) + P (B).

Tieto axiómy teórie pravdepodobnosti - jedná sa o jednoduché pravidlo, že nebude ťažké si spomenúť. Poďme sa snaží vyriešiť niektoré problémy, na základe už nadobudnutých vedomostí.

los

Po prvé, za najjednoduchšiu príklad - v lotérii. Predstavte si, že ste si kúpili lístok do lotérie pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá najmenej dvadsať rubľov? Celková cirkulácie sa podieľa na tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať sto rubľov, dvadsať a päťdesiat rubľov, a sto - päť. Úlohou teórie pravdepodobnosti založené na tom, ako nájsť spôsob, ako šťastie. Teraz spolu budeme analyzovať rozhodnutie nad pohľadu úlohy.

Ak označíme odmenu vo výške päťsto rubľov, potom pravdepodobnosť, že sa rovná 0,001. Ako sa dostaneme? Stačí počet "šťastných" vstupenky delené celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).

V - zisk sto rubľov, pravdepodobnosť sa rovná 0,01. Teraz sme rokovali rovnakým spôsobom ako posledná akcia (10/1000)

C - výplata je dvadsať rubľov. Nájdite pravdepodobnosť, že sa rovná 0,05.

Zvyšok lístkov Nemáme záujem, pretože ich výhrou je menšia, než je uvedené v podmienke. Použiť štvrtú axióma: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsať rubľov je P (A) + P (B) + P (C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť vzniku udalosti, sme v predchádzajúcom kroku už našiel. Zostáva stanoviť potrebné dáta, odpoveď dostaneme 0,061. Toto číslo bude odpoveď na otázku pracovných miest.

balíček kariet

Problémy na teórii pravdepodobnosti, existujú aj zložitejšie, napríklad, vziať ďalšiu prácu. Než začnete palube tridsiatich šiestich kariet. Vaša úloha - k tomu dve karty v rade, bez toho aby sa miešali hromadu, prvá a druhá karta sú esá, obleky nevadí.

Po prvé, nájsť pravdepodobnosť, že prvá karta je eso, toto rozdelenie štyri tridsaťšesť. Odložte nabok. Dostaneme druhá karta je eso s pravdepodobnosťou tristo tridsať pätiny. Pravdepodobnosť, že druhá akcia závisí od toho, ktorá karta sme zastavili prvé, nás zaujíma, to bolo eso, alebo nie. Z toho vyplýva, že v prípade, závisí na udalosti A.

Ďalším krokom, ktorý sme tu pravdepodobnosť súčasného prevedenia, teda násobiť A a B. Ich práca je nasledujúci: pravdepodobnosť jednej udalosti vynásobené podmienenú pravdepodobnosť druhého, vypočítať, za predpokladu, že došlo k prvej udalosti, teda prvá karta sme vytiahol eso.

Aby sa mohol stať všetko je jasné, dať označenie taký prvok ako podmienenú pravdepodobnosť udalosti. Je vypočítaná predpokladu, že trasa A stalo. Sa vypočíta nasledovne: P (B / A).

Máme rozšíriť riešenie nášho problému: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) alebo P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Pravdepodobnosť je (4/36) _* ((3/35) / (4/36) sa vypočíta zaokrúhlenie na najbližší stotinu máme: .. _* 0.11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. pravdepodobnosť, že sme vytiahnuť dve esá v rade je rovný deväť stotín. hodnota je veľmi malá, to znamená, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne nízka.

zabudnutá izbu

Ponúkame rozoznať niektoré ďalšie možnosti zamestnania, ktorá študuje teóriu pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých z tých, ktoré ste videli v tomto článku, sa snaží vyriešiť nasledujúci problém: Chlapec zabudol telefónne číslo pre poslednú číslicu svojho priateľa, ale pretože volanie bolo veľmi dôležité, potom začal vyzdvihnúť jedného po druhom. Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že bude volať nie viac ako trikrát. najjednoduchšie riešenie tohto problému, ak poznáte pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.

Pred vidíte riešenie, snaží sa riešiť na vlastnú päsť. Vieme, že tento údaj môže byť od nuly do deviatich, teda celkom desať hodnôt. Pravdepodobnosť požadovaný počet bodov 1/10.

Vedľa musíme vziať do úvahy možnosti vzniku udalosti, predpokladám, že chlapec hádal správne a získali právo, pravdepodobnosť tejto udalosti 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor sklzu, a druhý cieľ. Počítame pravdepodobnosť takýchto udalostí: 9/10 vynásobený 1/9 nakoniec dostaneme ako 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor sa ukázalo, že je zlé adresy, len treťou chlapec bol, kde chcel. Vypočítať pravdepodobnosť takýchto udalostí: 9/10 vynásobený 8/9 a 1/8, získame v dôsledku 1/10. Ďalšie možnosti ovládania pre stav problému Nemáme záujem, to je aj naďalej pre nás stanoviť tieto výsledky, nakoniec máme 3/10. Odpoveď: pravdepodobnosť, že chlapec by vyžadovalo viac ako trikrát, rovnajúcu sa 0,3.

Karty s číslami

Pred sebou deväť kariet, z ktorých každá je zapísaná čísla od jednej do deviatich, čísla sa neopakovali. Dali do krabice a dôkladne premiešajte. Je potrebné vypočítať pravdepodobnosť, že

• valcované párny počet;
• dvojmiestne.

Pred pokračovaním rozhodnutia stanovuje, že m - je počet úspešných prípadov a n - je celkový počet možností. Nájdime pravdepodobnosť, že číslo je párne. Nie je ťažké si spočítať, že párne čísla štyri, a to je naša m, všetkých deväť možných variantov, to znamená, že m = 9. Potom pravdepodobnosť sa rovná 0,44 alebo 4/9.

Domnievame sa, že druhý prípad, počet variantov deväť a úspešný výsledok nemôže byť vôbec, to znamená, že m je nula. Pravdepodobnosť, že podlhovastá karta bude obsahovať dvojciferné číslo, ako nula.