Diferenciálne rovnice - všeobecné informácie a rozsah

Štúdium javov prírody, riešenie všetkých druhov problémov v ekonómii, biológii, fyzike, technológii nie je vždy možné priamo nadviazať priamu spojitosť medzi určitými hodnotami, ktoré opisujú jeden alebo iný evolučný proces. Spravidla je možné určiť vzťah medzi týmito množstvami (funkciami) a ich rýchlosťou zmeny vzhľadom na iné (nezávislé) premenné. Toto vyvoláva Rovnice, v ktorých neznáme funkcie sú pod znamienkom derivátu, sú diferenciálne rovnice. Veľa známych vedcov strávil čas na svojom výskume: Newton, Bernoulli, Laplace a ďalší. Aplikácia diferenciálnych rovníc je pomerne široká: v modeloch ekonomickej dynamiky, ktoré ukazujú nielen závislosť časových premenných, ale aj ich vzťah s časom, v úlohách mikro- a makroekonomiky; S ich pomocou popisujú šírenie elektromagnetických a tepelných vĺn a rôzne evolučné javy, ktoré sa vyskytujú v živote a neživej prírode.

Pomocou elektromagnetických vĺn sa informácie prenášajú na diaľku (televízia, telefón, rádio a podobne). Moderná makroekonomika široko využíva diferenciálne a rozdielové rovnice. Napríklad v makroekonomike sa používa takzvaný základný DN neoklasickej teórie ekonomického rastu. Diferenciálne rovnice sa používajú aj v biológii, chémii, automatizácii a iných špeciálnych disciplínach. Obrázok znázorňuje graf funkcie, ktorá sa používa pri zvážení rastu populácie. Táto úloha sa rieši pomocou diaľkového ovládania.

Takže teraz existuje viac teórie. Zvyčajná diferenciálna rovnica je neidentiálny vzťah medzi neznámymi funkciami Y s jedným nezávislým argumentom X, najviac nezávislým premenným X a derivátmi požadovanej funkcie nejakého poradia. Existuje mnoho typov diferenciálnych rovníc, o ktorých neskôr v článku.

Diferenciálne rovnice sú:

1) Zvyčajné rovnice i-rádu, ktoré sú integrované do štvorcov. Tieto zase sú rozdelené na: diferenciálne rovnice s oddelenými premennými; DU s oddelenými premennými; Homogénne diaľkové ovládanie; Lineárne diaľkové ovládanie; Rovnice v celkových rozdieloch.

2) DU vyšších objednávok.

3) Lineárne DM z druhého rádu, ktoré sú lineárne homogénne druhého rádu, s konštantnými koeficientmi a lineárnou nehomogénnou, s konštantnými koeficientmi.

DU sa rieši aj niekoľkými spôsobmi, z ktorých najbežnejším je Cauchyov problém, metódy Euler a Bernoulli a iné.

V mnohých problémoch ekonomiky, matematiky, technológie je potrebné vypočítať určitý počet funkcií spojených určitým počtom DM. Potom prichádzame s pomocou systémov diferenciálnych rovníc: súbor rovníc, z ktorých každá obsahuje nezávislé premenné, funkcie tohto nezávislého a jeho derivátov.

Ak je systém lineárny vzhľadom na neznáme funkcie, potom sa nazýva lineárny systém diferenciálnych rovníc. Normálny systém diferenciálnych rovníc môže byť nahradený jedným DU, ktorého poradie sa rovná počtu rovníc systému.

Transformácia systému DU do jedinej rovnice sa v niektorých prípadoch uskutočňuje metódou eliminácie.

Okrem všetkého vyššie uvedeného existujú lineárne systémy s konštantnými koeficientmi, ktoré sú ľahko vyriešené eulerovskou metódou.