Eukleidův piaty postulát: formulácia

Predpokladá sa, že tam bolo pred 10 000 rokmi prvý ľudská civilizácia. V porovnaní s vekom našej planéty, ktorá je podľa vedcov, je asi 4.540.000 rok starý, to je len krátky okamih. Pre tento "okamih" ľudstvo urobil obrovský skok od primitívnych kamenných nástrojov na medziplanetárnej kozmickej lode. Že by nebolo možné, ak sa čas od času na tejto planéte by sa narodil génius, veda sa pohybuje vpred. Medzi nimi samozrejme vzťahuje Euclid. Jeho práca sa stala základom a silný impulz pre rozvoj modernej matematiky.

Tento článok je o piaty postulát Euclid a jeho histórii.

Ako sa geometria

Vzhľadom k tomu, že pozemky boli predmetom prenájmu, ich veľkosť a oblasť predaja a dodania je potrebné merať, vrátane výpočtov. Okrem toho, takéto výpočty byť nutné v konštrukcii veľkých štruktúr, ako aj meranie objemu rôznych položiek. To všetko sa stalo predpokladom pred 3-4 tisíc rokmi v Egypte a Babylon umeleckého zamerania. To bolo empiricky a je zbierka niekoľkých stoviek príkladov riešenia konkrétnych problémov, a to bez akýchkoľvek dôkazov.

Ako systematický veda geometrie vyvinuté v starovekom Grécku. Ako skoro ako pred naším letopočtom treťom storočí bola veľká dodávka faktov a metódy dôkazov. Avšak, tam vznikol problém dostatočne rozsiahlu zhrnúť zhromaždené geometrické materiálu. Snažila riešiť Hippocrates Fedi a ďalších starovekých gréckych filozofov. Avšak, logicky overených vedeckých systému existovala len asi 300 rokov pred naším letopočtom. e. so zverejnením "Principia".

Kto bol Euclid

Staroveké Grécko dala svetu mnoho z najväčších filozofov a vedcov. Jedným z nich je Euclid, ktorý sa stal zakladateľom alexandrijskej školy matematiky. O vedcov je známe prakticky nič. Niektoré zdroje uvádzajú, že mladí budúci otec modernej geometrie študovali v preslávenej škole Plato v Aténach, a potom sa vrátil do Alexandrie, kde pokračoval k štúdiu matematiky a optiky, rovnako ako skladanie hudby. Vo svojom rodnom meste založil školu, kde spolu so študentmi a vytvoril jeho slávnu prácu, ktorá už viac ako dvetisíc rokov je základom pre akúkoľvek učebnice rovine geometriu a geometriu.

"Prvky" Euclid

Hlavným a najviac prvá systematická práca na geometriu pozostáva z 13 zväzkov. Prvé štyri a šiestej knihy vysporiadať s rovinnou geometriou, a 11., 12. a 13. - geometriu. Pokiaľ ide o ďalšie objemy, ktoré sú venované aritmetiky, čo je z hľadiska geometrických postulátov.

Role hlavného diela Euclid v následnom vývoji matematických vied nemožno preceňovať. Existujúce zoznamy papyrus niekoľko originálu, rovnako ako byzantskej rukopisy.

V stredoveku, "prvky" Euclid boli študované predovšetkým Arabov, ktorí je jedno z najväčších diel ľudského myslenia a vedca Damasku zvážiť. Oveľa neskôr tieto práce zaujímala Európanmi. S príchodom tlače vedy vrátane euklidovskej geometrie už boli známe iba vyvolených. Po prvom ročníku v roku 1533. "Elements" sú pre všetkých, ktorí chcú porozumieť svetu k dispozícii, a tam sú stále viac a viac každý rok. Dopyt vytvorila zásobu, takže sa predpokladá, že táto práca je druhým najčítanejším medzi pamiatky staroveku po Biblii.

niektoré funkcie

So "prvky" opisuje metrické vlastnosti trojrozmerné, prázdne, neobmedzené a izotropné priestoru, ktorý je zvyčajne nazýva euklidovskej. To je považované za arénu, kde sú javy klasickej fyziky, Galileo a Newton.

Základný geometrický objekt, podľa Euklidovi, je bod. Druhým dôležitým koncept - nekonečno priestoru, ktorý je charakterizovaný tým, prvých troch postulátov. Štvrtý sa týka rovnosti pravých uhlov. S ohľadom na Eukleidova piaty postulát, potom určuje vlastnosti a geometriu Euclidean priestoru.

Podľa vedcov, klasická geometria otec vytvoril perfektné učebnice, ktorého štúdium vylúčiť nedorozumenia materiálu z dôvodu spôsobu jeho prezentácie. Najmä je každý objem "Elements" začína s definíciou pojmov stretol prvýkrát. Najmä z prvých stránok 1. knihe sa čitateľ dozvie, že bod, priamka, rovná a tak ďalej. Celkovo má 23 definície potrebné na pochopenie základných ustanovení materiálu uvedených v tejto základnej práci.

4 prvej axióma a postulovať Euclid

Po autorovi "Elements" ponúka výsledky, ktoré sú prijímané bez dôkazu. Tie sa delia na axióm a postulátov. Prvá skupina sa skladá z 11 vyhlásenie, že muž známy intuitívne. Napríklad, 8. axióma, že celok je väčší ako časť, a podľa prvých dvoch veličín, na rozdiel rovný trom, navzájom rovné.

Ďalej, 5 spôsobuje Euclid predpokladá. Prvé štyri takto:

• z akéhokoľvek miesta na akýkoľvek iný, môžete nakresliť priamku;
• od každého ohniska každého okruhu je možné popísať kruh;
• obmedzený linka môže predĺžiť kontinuálne v priamke;
• všetky pravé uhly sú si rovné.

Euclid je piaty postulát

Už viac ako dve tisícročia, toto tvrdenie opakovane stala predmetom pozornosti matematikov. Ale najskôr, sme sa oboznámiť s obsahom Eukleidova piateho postulátu. Tak, v modernom formulácii, že to znie, ako by sa v lietadle na križovatke dvoch priamych jednostrannému tretej súčtu vnútorných uhlov menšie ako 180 °, potom tieto riadky, zatiaľ čo pokračuje skôr či neskôr stretnúť na tej strane, na ktorej sa toto množstvo (objem) menší ako 180 °.

Eukleidův piaty postulát, čo je formulácia v rôznych zdrojoch líši od začiatku spôsobil šport a chcete ho preložiť do kategórie viet vytvorením zvuku dôkaz. Mimochodom, to je často nahradený iným výrazom v skutočnosti vynašiel prekliaty a tiež známy ako axiómy Playfair. To znie takto: v lietadle cez bod, ktorý nepatrí do danej trati môže zastávať jednu a len jednu priamku paralelne k tejto.

jazyk

Ako už bolo spomenuté, mnoho vedcov sa pokúsil iný vyjadriť myšlienku 5. postulátu Euclid. Mnoho formulácie sú úplne zrejmé. napríklad:

• konvergujúci pretínajú;
• tam je aspoň jeden obdĺžnik, to znamená 4-štvorec so štyrmi pravými uhlami;
• každé číslo môže byť proporcionálne zvýšená;
• je trojuholník s žiadnou, ľubovoľne veľké plochy.

nedostatky

Euclidean geometria bola najväčšia matematické diela staroveku a až do 19. storočia, to vládol bez povšimnutia v matematike. Cez toto, niektoré jeho nedostatky boli zistené aj súčasníkov autora a starogréckeho učenec, ktorý žil o niečo neskôr. Najmä sa pridal novú Archimedes axióma, pomenované po ňom. To hovorí, že tam je celé číslo n, ktorý je n · [AB]> [CD] pre všetky segmenty AB a CD.

Okrem toho, vedci sa snažili minimalizovať systém euklidovských axióm a postulátov. K tomu, že sa niektoré z nich sa od ostatných.

Tak sa podarilo "zbaviť" 4. postulátu rovnosti pravých uhlov. Pre neho bola nájdená prísny dôkaz, tak sa presťahoval do kategórie viet.

História 5 postulát v antike a ranom stredoveku

Klasická formulácie tohto vyhlásenia euklidovskej geometrie zdá byť oveľa menej zrejmé, ako ostatné štyri. Je to fakt strašidelný matematici.

Kameňom úrazu pre piaty Euclidean postulát bola definícia rovnobežnosti oboch čiar a a b s tým, že súčet dvoch jednostranných uhly, ktoré sú tvorené priesečníkom A a B tretí lineárny C, ktorá sa rovná 180 °.

Prvý pokus, aby to dokázal ako teorém bol vyrobený starogréckeho geometer Posidonius. Navrhol, aby zvážila priamy rovnobežne s rovinou množinu všetkých bodov, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od originálu. Avšak ani toto neumožňoval Posidonius nájsť dôkazy 5. postulát.

Ani k ničomu a pokusy ďalších matematikov, vrátane stredovekých, ako sú Arabi ibn Korra a Chajjáma. Jediná vec, ktorá bola dosiahnutá - vznik nových postulátov, čo sa dá doložiť na základe rôznych predpokladov.

V 18-19-teho storočia

Klasická geometria aj naďalej záujem o matematiku a v 18. storočí. Najmä dostatočne blízko k dôkazu paralelný postulát mohol prísť francúzsky matematik A. Legendre. Napísal vynikajúci učebnicu "Prvky geometrie", čo je asi 150 rokmi bolo hlavným výučby matematiky v Ruskej ríše škôl. V ňom vedci dali tri možnosti dokázať Euclidean paralelné axióma, ale všetci sa ukázalo ako nesprávne.

Na začiatku 19. storočia sa myšlienka vytvorenia non-Euclidean geometrie. Prvý popis systému, nezávisle na piaty postulát, viedol vojenský inžinier J. Bolyai. Ale bol strach z jeho objavu a nesledoval predstavu, veriť, že to zle. Úspech nebol schopný dosiahnuť aj veľký nemecký matematik Gauss.

prielom

Už viac ako 2000 rokov Eukleidova piateho postulátu, dôkaz, ktorý sa pokúsil nájsť stovky vedcov, zostal číslo jedna problém v matematike. Prielom tiež ruský matematik NI Lobačevskij. K nemu ako prvý na svete podarilo popísať vlastnosti reálneho priestoru, čo dokazuje, že Euclidean geometria "pracuje" iba v konkrétnom prípade jeho systému.

N. I. Lobačevskij pôvodne išiel rovnakou cestou ako to jeho kolegami. Snaží dokázať 5. postulát, že sa nepodarilo. Potom vedec odmietol Euclidean znázornenie, podľa ktorého uhlov trojuholníka sumy rovnajúcej sa 180 °. Ďalej sa snažil dokázať toto tvrdenie rozpor a dostal nové znenie piateho postulátu. Teraz, keď pripustil existenciu niekoľkých radoch rovnobežných k tomu, a prechádza bodom ležiacim mimo tento riadok.

nová geometria

Nemá zmysel diskutovať, kto urobil viac pre matematiku. Úloha Euclid a Lobačevskij porovnateľný vplyv na utváranie a rozvíjanie Newtonove a Einsteinovej fyziky. V rovnakej dobe, nový, absolútna geometria je možné považovať pojem priestoru, odpútať sa od klasickej metódy "možno pochopiť, čo sa dá merať len." Ale tento prístup praktizuje vo vede po tisíce rokov.

Bohužiaľ, myšlienky Lobachevskii geometrie neboli prijaté a pochopené jeho súčasníkov. Najmä jeho študenti nie sú pokračoval v práci vedcov a vývoj non-Euclidean geometria bola zadržaná po niekoľko desaťročí.

Niektoré funkcie teórie Lobachevskii

Aby sme pochopili novú geometriu, že je potrebné vziať do úvahy kozmickej nekonečno. V skutočnosti, to je ťažké si predstaviť, že rozľahlosť vesmíru je súčtom lineárnych priestoroch.

Lobačevskij geometrie sa používa na opis zakrivené priestory, ktoré sú vytvorené pôsobením gravitácie galaxií. Dovolila odchýliť sa od spôsobu pozornosti všetkých obrázkoch na "o správnom" valec, kružnica, pyramídy, alebo akúkoľvek kombináciu týchto tvarov. Veď napríklad v skutočnosti, že naša planéta - no ball a geoid, teda číslo, ktoré sa získa interpoláciu vonkajší obrys litosféry (tvrdou škrupinou) Krajina ...

V skutočnosti existujú tiež analógy zakrivených priestorov vesmíru, čo umožňuje zaviesť možnosť existencie niekoľkých paralelných línií prechádzajúcej cez rovnakom mieste. Konkrétne táto zakrivená plocha troch typov, ktoré sú pridelené taliansky geometer BELTRAMI a pomenované E. pseudosphere.

Ďalší rozvoj teórie Lobačevskij

Vynikajúci ruský nebol jediný, kto sa nepredpokladá absolútnosti euklidovskej geometrie. Najmä matematik Riemann v roku 1854 navrhol myšlienku možnosti existencie medzier nula, pozitívne a negatívne zakrivenie. To znamená, že si môžete vytvoriť nekonečné množstvo rôznych neklasických geometriou.

Na pozícii Riemannovy, ktorý študoval hlavne priestor s kladným zakrivením, 5. postulát Euclid znie úplne nečakane. Podľa svojich predstáv, a to prostredníctvom bodu mimo danej trati nemôžeme prijať žiadnu čiary paralelne s týmto.

Úplne odlišný je prípad s nulovými medzerami, negatívne a pozitívne zakrivenie Kleina teórie. Najmä v prvom prípade sú popísané parabolické geometria, špeciálny prípad, čo je klasická, druhá - počúvať Lobachevskian myšlienky, a tretí - v súlade s tými, ktoré opísal Riemann.

Po zverejnení Alberta Eynshteyna teórie relativity, predloženie týchto priestoroch doplnia údaje, ktoré berú do úvahy existenciu štyroch vzájomne závislých a meniace sa meranie - hmotnosť, sila, rýchlosť a čas.

v praxi

Ak sa vydáte na ľudskom vnímanie priestoru vnútri obežnej dráhe pre obrie čo najväčšieho trojuholníka prípadné odchýlky súčtu vnútorných uhlov 180 stupňov klasického make len štyri milióntin sekundy. Táto hodnota je nad možnosti homo sapiens, takže "pozemské" Dopyt je Euclidean geometrie.

Zostáva počkať, až sa vytvoria také podmienky, ktoré umožňujú získať experimentálne dáta na potvrdenie alebo vyvrátenie teórie N. Lobačevskij a Riemann v celej galaxii.

Teraz viete, že prehlasuje, Euclid je piaty postulát a jeho histórii, ktorá je veľmi poučné, a nám umožňuje sledovať vývoj ľudskej mysle v priebehu posledných 2300 rokov.