Čo je číslo s plávajúcou čiarkou?

Prezentácia reálnych (či reálnych) čísel, kde sú uložené ako mantisa a exponent sú plávajúcou desatinnou čiarkou (možno miesta, ako je to obvyklé v anglicky hovoriacich krajinách). Cez to, že číslo je opatrený pevnou relatívna presnosťou a meniace sa absolútna. Reprezentácia, ktorá sa používa najčastejšie, ktorá bola schválená štandardná IEEE 754. matematických operácií, ktoré používajú čísla s plávajúcou desatinnou čiarkou sú implementované v výpočtových systémov - hardware aj software.

Bod alebo čiarka

Podrobný zoznam oddeľovač desatinných miest identifikuje tie anglicky hovoriacich krajinách a anglofitsirovannye, v ktorých sú vedené záznamy o číslach oddelených nepatrná časť celého bodu, pretože terminológia z týchto krajín prijala meno s plávajúcou desatinnou čiarkou - "plávajúce rádovou čiarkou". V Ruskej federácii, nepatrná časť celej tradície, oddelené čiarkou, takže to predstavuje rovnaký koncept historicky spoznal termín "plávajúcou desatinnou čiarkou". Avšak, dnes v technickej dokumentácii a v ruskej literatúre je povolené obe možnosti.

Pod pojmom "floating point" pochádza zo skutočnosti, že pozičné číslo reprezentácie je čiarka (normálne desiatkové alebo binárne - počítač), ktorý sa zmestí kamkoľvek medzi číslami liniek. Táto funkcia je určite ju stanoviť oddelene. To znamená, že reprezentácia s plávajúcou desatinnou čiarkou možno považovať za implementáciu počítačového exponenciálnym zápisu. Výhodou použitia takéhoto znázornenie formátu zobrazenia s pevnou rádovou čiarkou a celých čísel, ktoré rozsah hodnôt významne rastie, keď sa, že relatívna presnosť zostáva bez zmien.

príklad

V prípade, že čiarka v počte pevných a vypáliť je to len jeden formát. Napríklad, vzhľadom k tomu, trochu šesť v rade a dve číslice v nepatrnej časti. To možno vykonať len týmto spôsobom: 123.456,78. Formát s plávajúcou desatinnou čiarkou dávať plný priestor pre vyjadrenie. Napríklad, vzhľadom k tomu, rovnaké osem číslic. voľby pre záznam môže byť akákoľvek, pokiaľ programátor nerobí dvojmiestneho šetriť duty ďalšie pole, kde sa bude zaznamenávať exponentmi, ktoré sú zvyčajne 10, a od 0 do 16, a vypúšťanie pričom celkový počet bude desať 8 + 2.

Niektoré vyhotovenie záznamu, ktorý umožňuje formátovať čísla s pohyblivou rádovou čiarkou: 12345678000000000000; , 0000012345678; 123,45678; 1.2345678 a tak ďalej. V tomto formáte je aj jednotka merania rýchlosti! Skôr, výkon počítačového systému, ktorý zaznamenáva rýchlosť, pri ktorej je počítač vykonáva operácie, kde je reprezentácia s plávajúcou desatinnou čiarkou. Tento výkon sa meria v podmienkach prepadne (s plávajúcou desatinnou čiarkou operácií za sekundu, čo znamená na počet transakcií za sekundu s plávajúcou desatinnou čiarkou). To je základnou jednotkou v rýchlosti merania počítačového systému.

štruktúra

číslo záznamu v plávajúcom formáte bode je potrebné takto, pozorovanie sekvenciu povinných častí, pretože tento záznam je exponenciálny, ktorý znázorňuje reálnych čísel ako mantisy a poradí. Je potrebné predstavovať príliš veľké a príliš malé množstvo, sú oveľa čitateľnejšie. Požadované časti: zaznamenaný počet (N), mantisa (M), je poradie označenie (P) a poradie (n). Posledné dve vlastnosti znamenia. Z tohto dôvodu, N = ^M. n ^p. Takže písaný čísel s plávajúcou desatinnou čiarkou. Príklady budú meniť.

1. Je potrebné zaznamenať číslo jeden milión, aby nedošlo k stratiť v nulami. 1000000 - to je normálne nahrávanie, aritmetika. Počítač je nasledujúci: ^{1.0. 6.októbra.} To znamená, že desať až šiestu - tri znaky, ktoré sa zmestia do toľko ako šesť núl. Tak dochádza k reprezentácii čísel s pevnou a pohyblivou rádovou čiarkou, kde okamžite môže detekovať rozdiely v hláskovanie.

2. A taká tvrdá číslo 1435000000 (jedna miliarda 430 - 5000), tiež môže byť písaný jednoducho: ^{1435. 10.} septembra iba. Tak je to s znamienkom mínus môžete písať ľubovoľný počet. To je ono, a líšia sa od seba navzájom s číslom pevnej a pohyblivej rádovej čiarke.

Ale je to viac o tom, ako byť nízka? Áno, až príliš ľahko.

3. Napríklad ako jedna milióntina značku? = 0.000001 ^1,0. 10 ^-6. Veľmi uľahčilo a písanie čísel a čítanie.

4. zložitejšie? Päťsto a čtyřicátášestá billionth:, 000000546 = ^546. 10 ^-9. Tu. Rozsah pohyblivou rádovou čiarkou je veľmi široký.

tvar

číslo forma môže byť normálne alebo normalizovaná. Normal - vždy rešpektovať presnosť s plávajúcou desatinnou čiarkou. Je potrebné poznamenať, že mantisa v tejto forme, bez ohľadu na znamienko, je polovica intervalu 0 1, potom 0 ⩽ a <1, nie je v normálnej forma počte stráca presnosť. Nevýhodou normálne formy je, že veľa čísla môžu byť písané v rôznych spôsoboch, že je nejednoznačný. Napríklad rôzne záznamy o rovnakom počte: 0 = 0,0001, ^{000001. 10.} februára = ^{0,00001. 10.januára} = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^{~ 2,} a tak môže byť oveľa viac. To je dôvod, prečo sa počítač používa inú normalizovanú notáciu, kde sa mantisa desiatkovej predpokladá hodnotu jednotiek (vrátane), a tak do desať (nie je súčasťou balenia), a rovnakým spôsobom mantisa binárne číslo má hodnotu medzi jedným (vrátane) do dvoch (nie inclusive).

Takže, 1 ⩽ a <10 Toto -. Binárne čísla s plávajúcou desatinnou čiarkou, a táto forma záznamu ľubovoľný počet (okrem nuly) zachytáva jedinečný spôsob. Ale aj tam je nevýhodu - neschopnosť predstaviť tento druh nulu. Preto informatika umožňuje použitie špeciálnych čísiel 0 znamenie (bitov). Celočíselná časť (MSB) zo mantisy v binárne číslo, s výnimkou nuly v normalizovanom tvare sa rovná 1 (implicitná jednotky). Tento záznam je použitý štandard IEEE 754. císla systém, vyznačujúci sa tým, že bázou je väčšia ako dva (ternárne, kvartérne a iné systémy), táto vlastnosť sa nekupuje.

reals

Reálnych čísel s plávajúcou desatinnou čiarkou a sú zvyčajne rovnako to nie je len jeden, ale veľmi pohodlný spôsob, ako reprezentovať reálne číslo, ako to bolo, kompromis medzi rozsahu hodnôt a presnosti. Toto je analogické s exponenciálnym zápisu, vykonáva iba v počítači. číslo s plávajúcou desatinnou čiarkou - súbor jednotlivých bitov je rozdelený na znamenie (značka), objednávky (exponent) a mantisa (mantisu). Medzi najčastejšie formát je IEEE číslo 754 s plávajúcou desatinnou čiarkou za sadu bitov, ktoré kódujú časť jeho mantisy, na strane druhej - stupeň a jeden bit indikuje znamienko čísla: nula - keď to je pozitívny, jednotka - ak je číslo záporné. Celý postup sa zaznamená číslom (kód smeny) a mantisa - v normalizovanom tvare, jeho desatinnú časť - v binárnom systéme.

Každý znak - je jediný bit, ktorý indikuje znamenie pre všetky čísla s plávajúcou desatinnou čiarkou. Mantisa a poriadok - sú celé čísla, ktoré, spolu s označením a aby reprezentácie s plávajúcou desatinnou čiarkou. Tento postup môže byť označované ako exponenciálny alebo exponent. Nie všetky reálne čísla môžu byť zastúpené v počítači v ich presnom význame, ostatné sú uvedené približné hodnoty. Oveľa jednoduchšie možnosť - podať reálne číslo s pevným bodom, kde je reálna a celá časť bude vedená oddelene. S najväčšou pravdepodobnosťou, takže celá časť je vždy pridelený X bitov a frakčnej - Y bitov. Ale architektúra procesorov nie sú vedomí tejto metódy, ale preto, že sa dáva prednosť počtu plávajúcou desatinnou čiarkou.

pridanie

Pridanie čísel s plávajúcou desatinnou čiarkou, je pomerne jednoduché. V súvislosti so štandardným single presného počtu IEEE 754 má veľký počet bitov, takže je lepšie prejsť na príkladoch, s lepším nápadom vziať najmenšie číslo s plávajúcou desatinnou čiarkou. Napríklad dve čísla - X a Y.

Tieto kroky sú nasledujúce:

a) Čísla musia byť zastúpené v štandardizovanej forme. Je jasné, že skrytý jeden. X = ^1,110. 2 ^2, a Y = ^1000. 2 ^0.

b) pokračovať v procese kompozícia môže vyrovnať iba vystavovateľa, ale musí prepísať hodnotu Y. To bude zodpovedať hodnote normalizovaných čísel, aj keď v skutočnosti - unnormalizes.

Vypočíta sa rozdiel medzi exponentmi stupeň 2 - 0 = 2. Teraz presunúť mantisa kompenzovať tieto zmeny, to znamená, že sa pridajú 2 do indexu druhého obdobia, čím sa pohybuje čiarka skryté jednotky v dvoch bodoch na ľavej strane. 0,0100 sa ^{získa. 2.februára.} To bude ekvivalentné predchádzajúce hodnotu Y, potom je už Y '.

c) Teraz je potreba spočítať počet mantisy X a Y. očistené

1,110 + 0,01 = 10,0

Vystavovateľ stále je reprezentovaná parametrom X, ktorá je rovná 2.

g) suma prijatá v predchádzajúcom kroku, posunuli normalizácie jednotku, potom sa budete musieť posunúť exponent sumu a opakovať. 10.0 s dvoma bitmi naľavo od desatinnej čiarky, číslo je teraz nutné normalizovať, tj presunúť čiarku doľava o jeden bod, a exponent, v tomto poradí, zvýši o 1. Ukazuje sa, ^{1000. 2. marca.}

e) Je na čase previesť desatinné číslo v jednobajtovej systéme.

záver

Ako môžete vidieť, pridajte tieto čísla nie sú príliš ťažké, čokoľvek, čo pláva čiarku. Ak nie je, samozrejme s výnimkou prinášať množstvo nižším exponentom medzi viacerými (vo vyššie uvedenom príklade, bolo to Y x), ako aj obnovenie status quo, teda v otázke náhrady - posunúť desatinnú čiarku doľava mantisy. Keď už bola použitá prídavok, je veľmi pravdepodobné, a ešte jeden problém - perenormirovanie a skrátenie bit, ak ich počet nezodpovedá počtu ho zastupovať.

násobenie

Binárne systém ponúka dve metódy, ktorými sa násobí čísel s plávajúcou desatinnou čiarkou. Táto úloha môže byť vykonaná násobenie, ktorá začína s najmenej významných bitov, a ktoré začína s vysokými poradie bitov v multiplikátora. V oboch prípadoch obsahujú rad operácií postupne stohovanie čiastkové produkt. Tieto operácie sú riadené pridaním multiplikačný bitov. Takže, ak je jeden z bitov multiplikátor je jednotka, súčet čiastkových produktov multiplicand rastie so zodpovedajúcim posunom. Ak je číslica multiplikátora prikradol k nule, zatiaľ čo násobenec nie je pridaný.

Ak je násobenie vykonávaná len dve čísla, súčin čísel v jej výška nesmie prekročiť počet číslic obsiahnutých v faktorov, viac ako dvakrát, a pre veľké množstvo, že je veľmi, veľmi veľa. Ak vynásobí nejaké číslo, produkt riskuje nezmestí na obrazovku. Vzhľadom k tomu, počet bitov z akéhokoľvek digitálneho prístroja je veľmi obmedzený, a to núti obmedziť maximálne dvojnásobku počtu výbavy číslic. A ak je obmedzený počet miest, vo výrobku bude nevyhnutne predstaví chyby. V prípade, že množstvo výpočtov je veľký, chyba prekrytie, a v dôsledku toho sa výrazne zvyšuje celkovú presnosť. Tu je jediná cesta - na bicykli výsledkov násobenie, potom chybové práca sa striedali. Keď operácia násobenie, je možné ísť nad rámec siete číslic, ale len mladší, pretože tam je stanovený limit na počet, z ktorých sú zastúpení vo forme pevného bodu.

niektoré vysvetlenia

Lepšie začať od začiatku. Najbežnejší spôsob, ako predstavujú počet - čísla riadkov ako celé číslo, kde je čiarka implikovanej v samom závere. Tento reťazec môže mať ľubovoľnú dĺžku, ale čiarka stojí na správnom mieste, aby ju oddeľuje číslo od zlomkovú časť. Formát prezentácie s pevným bodového systému nutne kladie určité podmienky na umiestnenie desatinnej čiarky. Vedecká notácie používa štandardné normalizovanú pohľad na zobrazenie čísel. To AQN {\ displaystyle aq ^ {n }} vodný n. Tu {\ displaystyle ^a} a, a to je volané mantisa čipky. Len o tom už bolo povedané, že 0 ⩽ a jasné: N {/ displaystyle n} n - celé číslo exponent a ^q {/ displaystyle q} q - aj celé číslo, ktoré je základom radix (písmeno je často 10). Mantisa opustiť čiarku po prvej číslicu, ktorá nie je nula, ale ďalší záznam sa prenesie na informácie o súčasnej hodnote čísla.

Číslo s plávajúcou desatinnou čiarkou je napísaný veľmi podobný všetkým jasné štandardných čísel pre vstup iba s exponentmi a mantisy sú zaznamenané oddelene. Posledný rovnaké a v štandardizovanom formáte - pevný bod, ktorý je ozdobený prvé významné číslice. Len plávajúcou desatinnou čiarkou sa používa predovšetkým v počítači, ktorý je v elektronickej reprezentácii, kde nie je systém desiatkovú a binárne, kde aj Mantis denormalize prerobený bod - teraz je pred prvou číslicou, potom skôr, nie až po ňom, kde celá časť v zásade nie je možné. Napríklad naša desiatková sústava by dal svoj deväť binárny systém pre dočasné použitie. A že bude zaznamenávať a jej mantisa s plávajúcou desatinnou čiarkou takhle: +1001000 ... 0, a to aj index 0 ... 0100. Ale desatinný systém nie je schopný produkovať také zložité výpočty, ktoré môžu byť v binárnom formáte, s použitím formy s pohyblivou rádovou čiarkou.

dlhá aritmetika

V elektronickej počítače majú vstavaný softvérových balíkov, kde pridelených pre mantisa a exponent množstvo pamäte zadaný softvéru obmedzený iba veľkosťou pamäte počítača. Vyzerá to, že po dlhú aritmetiky, ktorá je jednoduché operácie na číslach, ktorá vykonáva počítač. Je to všetko rovnaké - odčítanie a sčítanie, delenie a násobenie, elementárne funkcie a stavbu koreňa. Ale počet veľmi odlišné, ich kapacita je podstatne väčšia, ako je dĺžka slova stroja. Vykonávanie týchto operácií nie je hardvér a softvér, ale to je široko používaný základný hardware pre prácu s oveľa menším počtom zákaziek. Tam je viac a počítanie, kde čísla dĺžka obmedzená iba kapacitou pamäte - výpočty s ľubovoľnou presnosťou. Dlhá aritmetika sa používa v mnohých oblastiach.

1. Ak chcete kompilovať kód (procesory, mikroprocesory s nízkou bitovou hĺbkou - 10-bitových registrov a osembitového dĺžkou slova, nestačia spracovávať informácie z analógového signálu na digitálny (analógovo-digitálne prevodník), a preto sa nezaobíde bez dlhého aritmetiky.

2. To je tiež dlhá aritmetický sa používa na šifrovanie, kde je nutné zabezpečiť presnosť výsledku umocňovanie alebo rozmnožovanie na ^10,309. Celé číslo aritmetický sa používa modulo m - veľké prirodzené číslo, a nemusí byť nutne jednoduché.

3. Softvér pre finančníkov a matematici, tiež nie je bez dlhého aritmetiky, pretože jediný spôsob, ako overiť výsledky výpočtov na papieri - s pomocou počítača, čo zaisťuje vysokú presnosť čísiel. Plávajúcou desatinnou čiarkou môžu zahŕňať ľubovoľný počet dlhodobo výboja. Ale technické výpočty a prácu vedcov vyžadujú výpočty programové intervencie veľmi často, pretože je veľmi ťažké, aby sa vstupné dáta bez chýb. oni sú zvyčajne oveľa objemnejší ako zaokrúhlenie výsledkov.

Boj s chybami

Kedy rad operácií, v ktorých s plávajúcou desatinnou čiarkou, je veľmi ťažké posúdiť správnosť výsledkov. Doteraz nebola vynájdená, ktorý by spĺňal všetky matematickú teóriu, ktorá by pomohla vyriešiť tento problém. Ale chyba číslo vyhodnotiť ľahko. Možnosť zbaviť nepresností na povrchu - stačí použiť len číslo s pevnou rádovou čiarkou. Napríklad finančný program postavený na tomto princípe. Avšak, tam sú jednoduchšie: požadovaný počet číslic za desatinnou čiarkou je dopredu známy.

Iné aplikácie nie sú obmedzené na, pretože nemôžete pracovať buď veľmi malé alebo veľmi veľkých množstvách. Takže keď budete pracovať vždy berie do úvahy, že môžu byť nepresnosti, a kvôli odvodenie výsledkov je nutné kola. Okrem toho, automatické zaokrúhlenia je často nedostatočné činnosti, a preto je definovaná zaokrúhlenie špecificky. Veľmi nebezpečné v tomto smere operácii porovnanie. K dispozícii je aj odhadnúť výšku budúcich chýb je veľmi ťažké.