Neurčitý integrál. Výpočet neurčitých integrálov

Jedným zo základných úsekov matematickej analýzy je integrálny počet. To zahŕňa veľmi široké pole objektov, kde prvý - je to neurčitý integrál. Pozícia stojí ako kľúč, ktorý je ešte na strednej škole odhaľuje rastúci počet vyhliadok a príležitostí, ktoré opisuje vyššiu matematiku.

vzhľad

Na prvý pohľad sa zdá, úplne neoddeliteľnou súčasťou modernej, miestne, ale v praxi sa ukázalo, že sa vrátil v roku 1800 pred naším letopočtom. Home oficiálne považovaný Egypt ako nedosiahol nám skoršie dôkazy o jeho existencii. Je to z dôvodu nedostatku informácií, a pritom umiestnená jednoducho ako fenomén. Opätovne potvrdzuje úroveň vedeckého rozvoja národov tých časov. A konečne, práce boli nájdené starovekej gréckej matematiky, datovať sa od 4. storočia pred naším letopočtom. Popisujú metódu, kde je neurčitý integrál, ktorého podstatou bolo nájsť objem alebo oblasť krivkového tvaru, (trojrozmerné a dvojrozmerné rovine, v danom poradí). Výpočet bol založený na princípe rozdelenia pôvodného obrázku do nekonečne zložiek, za predpokladu, že množstvo (oblasť), je už známe, že je. V priebehu doby, táto metóda sa rozrástla, Archimedes používal to, aby si plochu paraboly. Podobné výpočty súčasne vykonávať cvičenia v starovekej Číne, kde boli úplne nezávislá z gréckeho kolegami vedy.

vývoj

Ďalším prielomom v XI storočí pred naším letopočtom sa stalo dielo arabského učenca "voz" Abu Ali al-Basra, ktorý tlačil hranice už známe, boli odvodené z integrálne vzorec pre výpočet sumy čiastok a stupňov od prvej do štvrtej, ktorý žiada o to poznáme indukčné metódy.
Minds sú dnes obdivované starí Egypťania vytvorili úžasné pamiatky bez použitia špeciálnych nástrojov, s výnimkou, že z ich vlastných rúk, ale nie je mocninou šialení vedci tej doby nemenej zázrak? V porovnaní so súčasnými dobách ich života sa zdajú takmer primitívne, ale rozhodnutie neurčitých integrálov odvodiť všade a použiť v praxi pre ďalší rozvoj.

Ďalším krokom sa konala v XVI storočí, kedy taliansky matematik Cavalieri priniesol nedeliteľnou metódu, ktorá zdvihol Per Ferma. Tieto dve osobnosti položil základ pre moderné integrálneho počtu, ktorý je známy v túto chvíľu. Zviazali pojmy diferenciálneho a integrálneho počtu, ktoré boli už predtým pozorovali ako samostatné jednotky. Celkovo vzaté, matematika tej dobe fragmentované častice zistení existujú samy o sebe, s obmedzeným použitím. Spôsob, ako zjednotiť a nájsť spoločnú reč bola jediná pravda, v súčasnej dobe, vďaka nemu je moderný matematickej analýzy mali príležitosť rásť a rozvíjať sa.

S postupom času sa všetko mení a integrálne symbol rovnako. Skrátka a dobre, to bolo určené vedci, ktorí vo svojom vlastnom spôsobom, napríklad Newton používal štvorcovú ikonu, ktorý dal integrovateľnú funkciu, alebo jednoducho dať dohromady. Tento nepomer trvala až do XVII storočia, kedy medzníkom pre celú teóriu matematickej analýzy vedca Gotfrid Leybnits zavedený taký charakter poznáme. Podlhovasté "S" je vlastne na základe tohto listu latinke, pretože označuje súčet primitív. Názov integrál získané vďaka Jakob Bernoulli, po 15 rokoch.

formálne definície

Neurčitý integrál závisí na definíciu primitívne, takže považujeme v prvom rade.

Primitívne - je inverzná funkcia derivátu, v praxi sa nazýva primitívne. Inak: primitívne funkcie d - je funkcia D, čo je derivát v <=> V, = v. Search primitívne je vypočítať neurčitý integrál, a samotný proces sa nazýva integrácie.

príklad:

Funkcia S (y) = y ^3, a jeho primitívne S (y) = (y ^4/4).

Súbor všetkých primitív o funkciu - to je neurčitý integrál, označený to nasledujúcim spôsobom: ∫v (x) dx.

Na základe skutočnosti, že V (x) - sú iba niektoré primitívne pôvodnú funkciu, výraz platí: ∫v (x) dx = V (x) + C, kde C - konštantná. V rámci ľubovoľnej konštanty sa týka ktorejkoľvek konštantný, pretože jeho derivát je nula.

vlastnosti

Vlastnosti, ktorú majú neurčitý integrál, v podstate na základe definície a vlastnosti derivátov.
Pozrime sa na kľúčové body:

• integrálne derivát primitívne je sám o sebe a ľubovoľná konštanta C <=> ∫V primitívne, (x) dx = V (x) + C;
• derivát integrálu funkcie je pôvodná funkcia <=> (∫v (x) dx), = V (x);
• konštanta je vyňatá z pod integrálnym znakom <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kde k - je ľubovoľný;
• integrál, ktorý je prevzatý z súčtu identicky rovná súčtu integrálov <=> ∫ (v (y) + w (y)), dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Posledné dve vlastnosti možno dospieť k záveru, že neurčitý integrál je lineárna. V dôsledku toho máme: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Príklady miest, ktorým sa roztoky neurčitých integrálov.

Musíte nájsť integrálne ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Z príkladu môžeme konštatovať, že neviete, ako vyriešiť neurčitých integrálov? Len nájsť všetky primitív! Ale hľadanie princípov je popísané nižšie.

Metódy a príklady

S cieľom vyriešiť integrál, môžete sa uchýliť k nasledujúcimi spôsobmi:

• pripravení využiť v tabuľke;
• per partes;
• Integrovaný nahradením premenné;
• sumarizujúci pod značkou diferenciálu.

stoly

Najjednoduchší a príjemný spôsob. V súčasnej dobe je matematická analýza sa môže pochváliť pomerne rozsiahle tabuľky, ktoré vysvetlené základné vzorec neurčitých integrálov. Inými slovami, tam sú šablóny odvodené na vás a vy môžete vziať len ich výhod. Tu je zoznam hlavných tabuľkových pozícií, ktoré možno zobraziť prakticky každý inštancie má riešenie:

• ∫0dy = C, kde C - konštanta;
• ∫dy = y + C, kde C - konštanta;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, kde C - konštanta, a n - číslo odlišné od jednotky;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kde C - konštanta;
• ^{∫e y dy = e y + C} , kde C - konštanta;
• ^{∫k y dy = (k r /} ln k) + C, kde C - konštanta;
• ∫cosydy = šíny + C, kde C - konštanta;
• ∫sinydy = -cosy + C, kde C - konštanta;
• ∫dy / cos ² y = TGY + C, kde C - konštanta;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, kde C - konštanta;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, kde C - konštanta;
• ∫chydy = plaché + C, kde C - konštanta;
• ∫shydy = Chy + C, kde C - konštantná.

Ak je to potrebné, vykonať niekoľko krokov viesť integrand do pohľadu tabuľky a teraz víťazstvo. Príklad: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Podľa rozhodnutia je zrejmé, že napríklad tabuľka integrand postráda multiplikátora 5. pridáme ju súbežne s týmto vynásobením 1/5 na všeobecný výraz nezmenil.

per partes

Uvažujme dve funkcie - Z (y) a X (y). Musia byť nepretržite differentiable na svojom odbore. V jednom vlastností diferenciačných máme: d (xz) = Xdz + ZDX. Integrácia oboch stranách, dostaneme: ∫d (xz) = ∫ (Xdz + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Prepis výslednú rovnicu, dostaneme vzorec, ktorý popisuje spôsob integrácie za diely: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Prečo je to nutné? Skutočnosť, že niektoré z uvedených príkladov je možné zjednodušiť, povedzme, k zníženiu ∫zdx ∫xdz, pokiaľ je tento v blízkosti forme tabuľky. Aj tento prostriedok sa môže použiť viac ako raz, pre dosiahnutie optimálnych výsledkov.

Ako riešiť neurčitý integrál takto:

• nutné počítať ∫ (y + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1), e 2s DS = {z =} s + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2e 2S, dy = e 2x} ds} = ((y + 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((y + 1), e ^2S) / 2-e ^2s / 4 + C;

• musí počítať ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, DZ = ds / s, Y = S, Dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = S (LNS-1) + C.

výmena premennú

Tento princíp riešenia neurčitých integrálov nie sú menej dopytu než predchádzajúce dve, ale zložitejšie. Postup je nasledujúci: Ak je V (x) - integrál nejaké funkcie D (x). V prípade, že samo o sebe neoddeliteľnou v príklade slozhnosochinenny prichádza, je pravdepodobné, že sa zmiasť a ísť dole zlé riešenie trasy. Aby sa predišlo tejto zmeny praxe z premennej x do Z, v ktorom všeobecné vyjadrenie vizuálne zjednodušené, pričom sa udržuje zv závislosti na x.

Matematicky vyjadrené, je nasledujúci: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y, (z) dz = V (z) = V (y 1 (x)), kde x = y ( z) - substitúcie. A samozrejme, inverznej funkcie z = y ¹ (x) plne popisuje vzťah a vzťah premenných. Dôležitá poznámka - diferenciál dx nutne vymeniť za novú diferenciálnej dz, pretože substitúcia v neurčitý integrál zahŕňa ho nahradí všade, nielen v integrand.

príklad:

• musí nájsť ∫ (y + 1) / (y ² + 2s - 5) ds

Použiť substitúciu z = (y + 1) / (y ² + 2s-5). Potom dz = 2sds = 2 + 2 (y + 1) ds <=> (y + 1) ds = dz / 2. V dôsledku toho sa nasledujúci výraz, ktorý je veľmi ľahko spočítať:

∫ (y + 1) / (S ² + 2s-5), DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• musíte nájsť integrálne ∫2 ^s e ^s dx

Vyriešiť prepísať v nasledujúcom tvare:

^{∫2 S e s DS = w (} 2E) s DS.

Označíme a = 2e (výmena argumentu tento krok nie je, to je ešte s), dávame naše zdanlivo komplikované neoddeliteľnou súčasťou základnej tabuľkovej forme:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s ds = S / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + c = 2 ^s e ^s / (In2 + 1) + C.

Ak zhrnieme diferenciálnej znamenia

Skrátka a dobre, táto metóda neurčitých integrálov - dvojča princípu substitúcie, ale existujú rozdiely v procese registrácie. Zvážme podrobnejšie.

Ak ∫v (x) dx = V (x) + C a y = z (x), potom ∫v (y) dy = V (y) + C

Zároveň nesmieme zabudnúť na triviálne integrálne transformácie, medzi ktoré patrí:

• dx = d (x + a), a pričom - každý konštantný;
• dx = (1 / a) d (ax + b), kde - opäť konštantná, ale nie sú nula;
• XDX = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ak vezmeme do úvahy všeobecný prípad, keď počítame neurčitý integrál, príklady môžu byť zahrnuté pod všeobecným vzorcom w, (x) dx = dw (x).

príklady:

• musí nájsť ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

online pomoc

V niektorých prípadoch je to chyba, ktoré sa môžu stať alebo lenivosť, alebo naliehavá potreba, môžete použiť on-line nápovedu, či skôr používať kalkulačku neurčitých integrálov. Cez zdanlivú zložitosť a kontroverzné povahe integrály, rozhodnutie je podmienené ich konkrétne algoritmus, ktorý je založený na princípe "ak nie ... potom ...".

Samozrejme, že obzvlášť zložité príklady takých kalkulačky nebude zvládnuť, pretože tam sú prípady, keď rozhodnutie musí nájsť umelo "nútení" zavedením niektoré prvky v procese, pretože výsledky sú zrejmé spôsoby, ako dosiahnuť. Cez kontroverzné povaha tohto tvrdenia, je to pravda, ako matematiky v zásade abstraktné veda, a jeho hlavným cieľom toho názoru, že je potrebné posilniť hranice. V skutočnosti, pre hladký beh-in teórií je veľmi ťažké sa pohybovať hore a vyvíjajú, takže nepredpokladajte, že príklady riešenia neurčitých integrálov, ktoré nám dal - to je výška príležitostí. Ale späť k technickú stránku veci. Aspoň skontrolovať výpočty, môžete použiť službu, v ktorom bolo napísané pre nás. Ak je potreba pre automatický výpočet komplexných výrazov, potom nemajú uchýliť k vážnejšej softvéru. By mali venovať pozornosť predovšetkým na životné prostredie MATLAB.

prihláška

Rozhodnutie neurčitých integrálov na prvý pohľad zdá byť úplne odtrhnuté od reality, pretože je ťažké si predstaviť zrejmý využitie lietadla. V skutočnosti, priamo použiť všade tam, kde nejde, ale sú nevyhnutným medzičlánok v procese odobratie riešení používaných v praxi. To znamená, že integrácia zadné diferenciácie, čím sa aktívne zúčastňuje procesu riešenia rovníc.
Na druhej strane, tieto rovnice majú priamy vplyv na rozhodnutie mechanických problémov, výpočet trajektórie a tepelnej vodivosti - skrátka všetko, čo predstavuje súčasnosť a formovaní budúcnosti. Neurčitý integrál, príklady ktorého sme sa zaoberali vyššie, triviálne len na prvý pohľad, ako základ pre vykonávanie viac a viac nových objavov.